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题记机器人学中的惯性张量惯性张量在不同坐标系下的转换下面来举个栗子!
几个概念博主瞎扯淡(猜错请批评指正)参考文献:
题记
很早就想谈谈这个话题,奈何时间不允许。最近相对比较闲,所以来侃一侃机器人学中的惯性矩阵这点事儿。 机器人学中的惯性张量惯性张量是表述机器人本体在转动过程中状态改变的难易程度的一个量,与之对应的是平动中的质量。 对于惯性张量的表示,在不同的坐标系下其值是不同的,我们可以通过坐标旋转和平行移轴定理来将不同坐标系下的惯性张量矩阵联系在一起。 假设现有一坐标系
A
{A}
A,其惯性张量矩阵如下:
A
I
=
[
I
x
x
−
I
x
y
−
I
x
z
−
I
x
y
I
y
y
−
I
y
z
−
I
x
z
−
I
y
z
I
z
z
]
^{A} \mathrm{I}=\left[\begin{array}{ccc}{I_{x x}} & {-I_{x y}} & {-I_{x z}} \\ {-I_{x y}} & {I_{y y}} & {-I_{y z}} \\ {-I_{x z}} & {-I_{y z}} & {I_{z z}}\end{array}\right]
AI=⎣⎡Ixx−Ixy−Ixz−IxyIyy−Iyz−Ixz−IyzIzz⎦⎤
w
h
e
r
e
where
where,
I
x
x
=
∭
V
(
y
2
+
z
2
)
ρ
d
v
I
y
y
=
∭
V
(
x
2
+
z
2
)
ρ
d
v
I
z
z
=
∭
V
(
x
2
+
y
2
)
ρ
d
v
I
x
y
=
∭
V
(
x
y
)
ρ
d
v
I
x
z
=
∭
V
(
x
z
)
ρ
d
v
I
y
z
=
∭
V
(
y
z
)
ρ
d
v
\begin{aligned} I_{x x} &=\iiint_{V}\left(y^{2}+z^{2}\right) \rho d v \\ I_{y y} &=\iiint_{V}\left(x^{2}+z^{2}\right) \rho d v \\ I_{z z} &=\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho d v \\ I_{x y} &=\iiint_{V}(x y) \rho d v \\ I_{x z} &=\iiint_{V}(x z) \rho d v \\ I_{y z} &=\iiint_{V}(y z) \rho d v \end{aligned}
IxxIyyIzzIxyIxzIyz=∭V(y2+z2)ρdv=∭V(x2+z2)ρdv=∭V(x2+y2)ρdv=∭V(xy)ρdv=∭V(xz)ρdv=∭V(yz)ρdv 刚体有单元
d
v
dv
dv组成,其密度为
ρ
ρ
ρ,每个单元位置由矢量
[
x
,
y
,
z
]
T
[x ,y, z]^T
[x,y,z]T指定。 假设坐标系 1 {1} 1的惯性张量矩阵为 I 1 I_1 I1,坐标系 2 {2} 2的惯性张量矩阵为 I 2 I_2 I2,两个坐标系原点 o {o} o重合,由坐标系 1 {1} 1变换到坐标系 2 {2} 2的矩阵为 R 12 R_{12} R12,则 I 1 I_1 I1与 I 2 I_2 I2的关系如下: I 1 = R 12 I 2 ( R 12 ) T I_1 = R_{12} I_2 (R_{12})^T I1=R12I2(R12)T 下面来举个栗子! 假设有一输出坐标系为坐标系 1 {1} 1,质点为 c {c} c,其在坐标系 1 {1} 1中的坐标为 P c = [ x c , y c , z c ] T P_c = [x_c ,y_c, z_c]^T Pc=[xc,yc,zc]T,对齐坐标系 1 {1} 1的质心坐标系为 C {C} C,则由平行移轴定理可得: I 1 = I c + m ( P c T P c I 3 × 3 − P c P c T ) I_1 = I_c + m (P_{c}^{T}P_cI_{3×3} - P_cP_{c}^{T}) I1=Ic+m(PcTPcI3×3−PcPcT) 下面来举个栗子! 例1 方块实体![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 注意: SolidWorks测量的惯性张量值,都是绝对的,因此在写惯性张量矩阵时要在除对角线位置外添加负号!!! 几个概念惯性张量、惯性积、惯性矩和转动惯量,几个概念傻傻分不清…… 首先我们来看下转动惯量,转动惯量(此处为质量转动惯量)只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置,其表达式为: I = ∑ i m i r i 2 I=\sum_{i} m_{i} r_{i}^{2} I=i∑miri2 假设刚体质量连续分布,那么表达式可以写成: I = ∭ V r 2 d m = ∭ V r 2 ρ d V I=\iiint_{V} r^{2} \mathrm{d} m=\iiint_{V} r^{2} \rho \mathrm{d} V I=∭Vr2dm=∭Vr2ρdV w h e r e where where, m i m_i mi表示质元的质量, r r r表示质元到转轴的垂直距离, ρ ρ ρ为密度。 在SI单位制中,它的单位是 k g ⋅ m 2 kg·m^2 kg⋅m2![]() ![]() ![]() 从以上搬的砖的内容来看,惯性矩与惯性积是一个东西,极惯性矩与面积转动惯量相同。 二者之间的联系在于:面积惯性矩跟质量无关, I = ∫ r i 2 d A I=\int r_i^2 dA I=∫ri2dA,如果引入材料的密度 ρ ρ ρ,则该式变为: m I = ∫ r i 2 d m mI=\int r_i^2 dm mI=∫ri2dm,即为转动惯量的积分表达式。这说明:惯性矩可以表征材料转动的难以程度,这种局部转动的宏观表现即为弯曲变形和扭转变形;惯性矩仅体现出几何形状对物体抵抗自身变形的影响,而转动惯量同时体现质量分布和几何形状的影响。 博主瞎扯淡(猜错请批评指正)各种文献中的叫法都不一样,从看过的文献中,博主猜测: 惯性矩和惯性积是描述截面抗形变能力的,惯性矩是类似于 I y = ∫ x 2 d A I_{y}=\int x^2dA Iy=∫x2dA、 I x = ∫ y 2 d A I_{x}=\int y^2dA Ix=∫y2dA这种的, 这是极惯性矩 I z = ∫ ( x 2 + y 2 ) d A I_{z}=\int\left(x^{2}+y^{2}\right) d A Iz=∫(x2+y2)dA,惯性积的形式为 I x y = ∫ x y d A I_{xy}=\int xydA Ixy=∫xydA
总结: 叫“性”的跟截面积有关,叫“量”的跟质量有关叫“矩”的跟单轴或者两轴的平方和相关,叫“积”的跟两轴乘积有关 参考文献:https://baike.baidu.com/item/%E6%83%AF%E6%80%A7%E7%A7%AF/2294932?fr=aladdin https://baike.baidu.com/item/%E6%83%AF%E6%80%A7%E7%9F%A9/8155407?fr=aladdin https://baike.baidu.com/item/%E6%83%AF%E6%80%A7%E7%A7%AF/2294932?fr=aladdin https://baike.baidu.com/item/%E6%83%AF%E6%80%A7%E5%BC%A0%E9%87%8F/5322910?fr=aladdin http://muchong.com/html/201311/6637340.html |
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