核心素养视角下的初中函数教学初探

文/刘丽华

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）提出，初中阶段数学学科核心素养包含抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识，主要表现为会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界[1]。数学知识是发展数学学科核心素养的载体，而数学教学活动则是发展学生数学学科核心素养的途径。史宁中教授指出，学生核心素养的形成，不仅依赖于课堂教学，更重要的是要让学生积极参与教学活动[2]；不仅依赖浅层的知识记忆与理解，更重要的是要让学生认真思考，在探究活动中得到经验的积累。

学习函数可以培养学生的数学抽象、直观想象和数学建模等数学学科核心素养。通过数学抽象，学生能够学会将现实生活中的实际问题数学化；通过直观想象，学生可以在具体情境中感悟事物的本质；通过建立数学模型，学生可以合理地解决数学问题。在本文中，笔者以“正比例函数的图像和性质”为例，通过教学活动设计和实践，基于提升学生数学学科核心素养的目的，系统总结初中函数教学策略。

正比例函数的图像和性质是在学了正比例函数定义后对函数内容的进一步研究，是数形结合思想的重要体现。它的研究方法具有一般性和代表性，为后面学习一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质奠定了基础，起着承上启下的重要作用。

通过研读教材与《课程标准》，同时结合学生的认知水平，教师可以将本节课的教学目标设置如下。

（1）掌握正比例函数的概念，知道正比例函数的图像是一条直线，会用两点法画正比例函数的图像。

（2）能根据正比例函数的图像，观察、发现并归纳其性质，会运用正比例函数的图像和性质解决问题。

（3）通过画正比例函数图像的活动，让学生学会直观分析图像，能根据图像观察、发现、抽象出性质，体会数形结合的思想方法，提升数学抽象和直观想象素养。

（4）通过用解析式和表格来解释和验证正比例函数的性质，让学生学会从多角度认识这些性质，体会知识的同一性，培养学生观察、比较、概括、推理的能力，渗透从特殊到一般的探究方法。

问题1：暑假期间，乐乐每天去楼下跑道散步，若乐乐散步的平均速度是80 米/分，那乐乐所走的路程S（米）与散步时间t（分）有什么关系？请写出S与t的关系式，并说明它们是否为函数关系？是否为我们学过的正比例函数？

问题2：复习正比例函数的定义。

问题3：前面我们学习了可以用解析式法、列表法、图像法表示一个函数，那么你能画出上述正比例函数的图像吗？要经历哪些步骤？

设计意图：通过列举身边的实际问题，让学生体会数学源于生活，可以用数学知识解决实际问题，让学生感悟模型思想的应用。教师借助“散步”这个生活情境，既使学生复习了正比例函数的定义，又可以对学生进行体育渗透，告诉学生暑假在家也要记得锻炼身体，提高身体素质。

活动：在同一个平面直角坐标系中，请同学们画出下列函数的图像：

y=x，y=2x，y=3x，y=-x，y=-2x，y=-3x

设计意图：学生独立作图是对描点法的巩固，同时能够培养学生的动手能力，提高学生画图的速度和规范性，使学生积累图像生成过程的思维活动经验。在这个过程中，教师应引导学生认真对自变量进行取值并观察表格中的数据，引导学生注意线应该怎么画。这有助于培养学生的直观想象能力和数据分析能力，培养学生的直观想象和逻辑推理素养。

问题4：观察你画的这六个正比例函数图像，你能发现什么结论？（引导学生从形状、位置、变化趋势等方面观察这些函数图像）

追问1：正比例函数的图像是什么形状？所有的正比例函数图像都是一条过原点的直线吗？为什么？

追问2：既然正比例函数的图像是一条过原点的直线，那如何快速准确地画出正比例函数y=kx（k≠0）的图像呢？

设计意图：根据直观感觉，学生很容易得到正比例函数的图像是一条过原点的直线，但如何证明这个结论是教学的一个难点。教师可通过解析式说明“过原点”，通过几何画板准确画出“直线”图像进行验证。随着自变量取值的增加，图像上的点越来越密，而几何画板可以帮助我们取无数个自变量的值，对应到图像上，无数个点就形成了一条直线，学生由此理解正比例函数的图像是一条过原点的直线。在这个过程中，学生对正比例函数的认识从感性上升到理性，培养了“大胆猜想，小心验证”的数学素养。

追问3：为什么不同的函数经过的象限不一样？图像的变化趋势不一样？这是由什么决定的？（引出我们需要对取值进行分类讨论）分几类？

设计意图：引导学生将上述的函数图像分成两类，体会“k”值对函数图像位置、变化趋势的影响，学会分类讨论，为后面分类研究正比例函数的一般性质作铺垫。

问题5：对正比例函数y=kx，当k＞0 时，它的图像具有什么特点？

追问1：是所有k＞0 的正比例函数的图像都有这样的特点吗？（经过一、三象限，图像从左往右逐渐上升，y随x的增大而增大）

追问2：你能从解析式的角度说明以上结论吗？你能从表格中看出以上结论吗？

追问3：你能用符号语言表示“y随x的增大而增大”吗？

设计意图：在教学过程中，要想让学生获得函数性质，一般要让学生经历两个阶段：直观感知阶段和定性描述阶段。在直观感知阶段，学生由图像直观猜想正比例函数的性质，经历由“形”到“数”的过程。在定性描述阶段，学生单单从图像中得到性质不够准确，只能算作猜想，所以教师还需要从解析式的角度进一步证明函数的性质，力求通过“数”（解析式）的运算推理获得正比例函数增减性的知识，提升学生的逻辑推理素养。从直观感知到定性描述，充分体现了“从形看数”“从数看形”，即从数形结合的角度看正比例函数，这有利于学生全面认识正比例函数。此外，追问1 在多个实例的基础上归纳出一般正比例函数的性质，体现了从特殊到一般的思想方法，潜移默化地引导学生对图像进行观察、比较、分析、归纳，提高了学生分析问题和解决问题的能力，发展了学生的核心素养。追问2 通过用解析式和表格来解释和验证正比例函数的性质，让学生学会从多角度认识性质，体会知识的同一性。追问3 培养了学生用数学符号语言描述性质的能力，让学生感悟数学知识的高度抽象和数学符号语言的简洁美，体会图形、符号、文字三种数学语言之间的互相转化。

问题6：对正比例函数y=kx，当k＜0 时，它的图像又具有什么特点？

设计意图：研究完正比例函数y=kx（k＞0）的性质，让学生类比得到正比例函数y=kx（k＜0）的性质，再次培养学生的类比、归纳、推理能力。

问题7：通过以下问题总结本节课内容。

（1）通过本节课的学习，你获得了哪些知识？（2）我们是怎么研究正比例函数的图像及性质的？从哪几个方面研究？（3）我们今后研究一类函数的图像和性质的基本思路是什么？

设计意图：通过归纳总结，构建本节课的知识体系，加深学生对正比例函数图像和性质的理解。

在平时教学中，大部分教师比较侧重函数的图像和性质、函数与方程、函数与不等式、函数应用，而忽略了学生对概念的理解。实际上，学生对概念本质的理解是很重要的。因此，教师要重视函数相关概念的教学，包括函数相关概念的形成过程、概念的理解以及表示方法。如在最开始函数概念的教学中，教师要通过大量实例，让学生感受、发现这些实例的相同点，然后归纳这些共同点，自然而然地引出函数的概念，并重点讲解函数概念的本质。接着，为了让学生体会函数不同的表示方法，教师还要给出不同形式的函数，让学生去感知、去经历，在学习和探索中理解知识的同一性，这样不仅可以让学生深入理解函数概念，还能发展学生的符号意识、数学抽象等核心素养。

在初中数学人教版教材中，函数模块包含三个章节的内容，分别是“一次函数”“二次函数”和“反比例函数”，每个章节研究一种函数。其中，一次函数的研究思路和方法对后续两个函数的研究有很强的指导作用，因此教师要教会学生研究函数的基本思路。

例如，如何研究一个具体函数的性质？要从哪些方面研究？教师要让学生经历直观感知阶段和定性描述阶段，先由具体函数图像直观猜想函数的形状、位置、变化趋势、经过的定点等，经历由“形”到“数”的过程；然后再通过解析式经过运算推理得到准确的函数性质，并学会用符号语言表示，经历由“数”到“形”的过程，体会从数形结合、特殊到一般的思想方法，这有利于发展学生的直观想象、数学抽象和推理素养。

对初中生来说，函数部分的内容学起来很抽象，很多学生无法理解其本质，学习效果自然不好。数形结合思想就是把很抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，将抽象思维与形象思维结合，把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，是数学最基本的思想方法。函数本身就是数形结合的形式，因此，在函数教学中，教师要有意识地培养学生运用“数形结合”思想解决问题。下面结合例题进行说明。

如图1，直线y=kx+b经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），直线y=2x经过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（ ）

图1

A.x＜-2 B. -2＜x＜-1

C. -2＜x＜0 D. -1＜x＜0

如果采用代数的方法解决，我们要先用待定系数法求出直线y=kx+b的解析式y=-2x-4，然后再解不等式组2x＜-2x-4＜0，最后得出解集为-2＜x＜-1。这种方法显然比较烦琐。如果我们结合图像，可以直接去找一次函数图像在x轴下方且比正比例函数图像高的那部分图像，x对应的取值范围就是不等式-2x＜kx+b＜0的解集。由此可以看出利用函数图像能够把问题变得简单和形象化，利用“数形结合”思想迅速得出答案。

教师在函数的教学中要引导学生多注意生活中的实例，感受和理解数学与现实的关联，这样有利于从实际问题中抽象出函数问题，使学生从数学的视角发现问题，同时用函数的相关知识解决现实问题，发展学生的数学抽象和数学建模等核心素养。

例如，在讲授“怎样选取上网收费方式”这一问题时，教师要让学生经历“分析实际情境—建立数学模型—解决数学问题—回到实际问题”的全过程，先分析题目、读懂题目，再引导学生把这个问题抽象成函数问题。通过分析可知，上网费用随着上网时间的变化而变化，此时教师可以让学生写出三种上网费用随着时间变化的函数解析式，进而结合图像，比较函数值的大小，以此决定选用哪种上网收费方式，从而解决实际问题。

数学学科核心素养是着眼于学生未来与长远发展的思维品质和关键能力，只有将核心素养贯彻落实在实际的教学中，以核心素养理念引领数学教学工作，才能对学生的成长与发展提供更大的帮助。这就要求数学教师多学习，努力提高自己的专业素质，提高教学能力，让核心素养真正落地生根。

名师在线2023年21期