定积分

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个胡民束回控圆须矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx胡龙不相等，积分值仍然相同。我们击右假设这些“矩形面积和”S=f(x1）Δx1+f(x2）Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1），那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值.

利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k（k∈Q，k≠-1），有∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。

我们选择等比级数用皮物观若来分点，令公比q=n^√（b/a），则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0效南命政=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b，因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk，且Δxj=x(j+1)-血国可钟良宽呀代xj=aq^(j+1)-aq^j 那么“矩形面积和”

Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q弦接模段列审关尼^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-传迅富培供1)]

提出a^k*(aq-a），则

Sn=a^(k+1)批饭讲帮细科斗妈坏画尼*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k货大体供置家洋+1)+……q^(n-1)(k+1)]

利用等比级数公式，得到

Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1)映大练快括液长非跟态)/N

其中N=(q^(k+1)-1能明煤)/(q-1），设k院散压各=u/v(u,v∈Z），令q^(1/v)=s，则

N=(s^(k+1)v-1)积师的氧伯没记管度/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/终检站移名元步(s-1))/((s^v-1)/(s-1))

正造养八米准料令n增加，则s,q都趋规儿状丰由市件编负会于1，因而N的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.

于是∫下限a 上限b f(x界员克紧回但燃)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。