从二重积分换元法到概率论卷积公式

二重积分换元公式（第七版同济书下册P152）

设 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 x O y x O y xOy 平面上的闭区域 D D D 上连续，若变换 T : x = x ( u , v ) ,   y = y ( u , v ) T: x=x(u, v),\ y=y(u, v) T:x=x(u,v), y=y(u,v) 将 u O v u O v uOv 平面上的闭区域 D ′ D^{\prime} D′ 变为 x O y x O y xOy 平面上的 D D D，且满足

(1) x ( u , v ) , y ( u , v ) x(u, v), y(u, v) x(u,v),y(u,v) 在 D ′ D^{\prime} D′ 上具有一阶连续偏导数；

(2) 在 D ′ D^{\prime} D′ 上雅可比式 J ( u , v ) = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ≠ 0 ; J(u, v)=\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0 ; J(u,v)=∂(u,v)∂(x,y)​=0;

(3) 变换 T : D ′ → D T: D^{\prime} \rightarrow D T:D′→D 是一对一的，

则有 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D ′ f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ]   ∣ J ( u , v ) ∣   d u d v . \iint\limits_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y=\iint\limits_{D'} f[x(u, v), y(u, v)]~|J(u, v)|~\mathrm{d} u \mathrm{d} v . D∬​f(x,y)dxdy=D′∬​f[x(u,v),y(u,v)] ∣J(u,v)∣ dudv.

示例：

卷积公式（浙大书第五版P77）

一般方法证明（浙大书第五版P78）：

使用二重积分换元法来证明：

卷积公式的一般形式

参考：概率论～卷积公式