|
大佬blog 大佬blog 大佬blog 大佬blog 上面的都没有证明 学数学的时候，可能会接触到一个叫做特征根法，特征根方程的东西，当时不觉明历(应该是不明觉厉)。 实际上这是和线性代数中的特征多项式离不开的。 学OI的时候，可能会接触到矩阵快速幂求解常系数齐次线性递推的东西，懂了但是只会当模板用。 实际上这也和特征多项式有着紧密的联系。 言归正传。 特征多项式是指对一个 n n n阶（转移）方阵 A A A , f ( λ ) = det ( λ I − A ) = λ N + b 1 λ N − 1 + b 2 λ N − 2 + . . . + b N − 1 λ + b N f(\lambda) = \det(\lambda I-A) = \lambda^N+b_1\lambda^{N-1}+b_2\lambda^{N-2}+...+b_{N-1}\lambda+b_N f(λ)=det(λI−A)=λN+b1λN−1+b2λN−2+...+bN−1λ+bN是一个以 λ \lambda λ为自变量的 n n n次多项式。 Cayley-Hamilton定理指的是 f ( A ) = 0 = A N + b 1 A N − 1 + b 2 A N − 2 + . . . + b N − 1 A + b N f(A) = 0 = A^N+b_1A^{N-1}+b_2A^{N-2}+...+b_{N-1}A+b_N f(A)=0=AN+b1AN−1+b2AN−2+...+bN−1A+bN为化零多项式。为了方便记忆有一个著名的伪证: f A ( A ) = ∣ A − A I ∣ = 0 f_A(A)=∣A−AI∣=0 fA(A)=∣A−AI∣=0
初中证法： ( λ I − A ) − 1 = a d j ( λ I − A ) ∣ λ I − A ∣ ( a d j 为 伴 随 矩 阵 ) (\lambda I - A) ^ {-1} = \frac {adj(\lambda I - A)}{|\lambda I - A|}(adj为伴随矩阵) (λI−A)−1=∣λI−A∣adj(λI−A)(adj为伴随矩 |