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【高数上1】开区间与闭区间连续的探究
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2023/3/18 关于区间连续的讨论
1. 函数在开区间连续
由于函数不包括左右端点，则仅仅需要区间内的点连续即可 开区间连续的条件 ∀ x 0 ∈ ( a , b ) \forall x_0\in(a,b) ∀x0∈(a,b)： f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处有定义 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处存在极限 lim x → x 0 f ( x ) = lim x → x 0 − f ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x) limx→x0f(x)=limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)有 f ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x) f(x0)=limx→x0f(x)成立 2. 函数在闭区间连续函数在闭区间内连续，需要在开区间内的点连续，同时需要左端点右连续，右端点左连续。 区间连续的条件: 1️⃣ ∀ x 0 ∈ ( a , b ) \forall x_0\in (a,b) ∀x0∈(a,b) f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处有定义 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处存在极限 lim x → x 0 f ( x ) = lim x → x 0 − f ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x) limx→x0f(x)=limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)有 f ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x) f(x0)=limx→x0f(x)成立2️⃣断点处即 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b f ( a ) = lim x → a + f ( x ) f(a)=\lim_{x\to a^+}f(x) f(a)=limx→a+f(x)即左端点右连续 f ( b ) = lim x → b − f ( x ) f(b)=\lim_{x\to b^-}f(x) f(b)=limx→b−f(x)即右端点左连续综上：函数在闭区间连续需要包括开区间内连续的同时保证左端点右连续，右端点左连续 3. 例题函数的图形如下，指出函数的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使其成为连续点。 |
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