斜率和变化率

给蛋蛋讲解题目

1.平均变化率（P95）： 可见平均变化率的数值求解就是用y的变化量除以x的变化量，一般都会给你一个应用背景，比如路程除以时间，算出来的平均速度就是平均变化率，比如一段时间内温度变化了多少度除以时间，算出来温度变化的速度同样也是平均变化率，这是一个代数（或者说数值）上的概念。

两种计算方式， 一种是箭头1所示，知道两个时刻x1,x2，知道这两个时刻对应的状态f(x1),f(x2)，那么对应相减，再相除即可得到平均变化率。 一种是箭头2所示，知道时刻x1,也知道在x1的基础上变化了h（h≠0，可以理解为x2=x1+h），那两个时刻分别是x1和x1+h，两个时刻对应的状态分别是f(x1)和f(x1+h),那么对应相减再相除即可得到平均变化率。 那既然这两种方式是等价的，为什么要费周章用两种方式来表示呢？因为h是个灵活的变量，当h是个比较大的数，我们算出来的就是平均变化率，当h无限趋于0的时候，算出来的是瞬时变化率。 第二个式子用的多，解题从定义出发一般都用这个式子。

而至于割线，切线，斜率都是几何上的概念： 如果我们知道一个物体下落的轨迹符合一个函数，那么我们可以将这个轨迹函数画出来，看看有什么特点，从而进行分析，这样比较直观。

比如P151例1： Y=x2抛物线画出来了，还画出来了一个点P（2,4），让我们在x轴上取一个变化量h，那么另一个点的x坐标就是2+h(假设h为正)，其y坐标就是(2+h)2（带入函数得出来）,这两点确定了一条直线，这条直线的斜率就是y值对应相减除以x值对应相减，也就是 几何意义上，平均变化率就是割线的斜率。

我们让h取一个很小很小的变量，也就是两个点越靠越近，h趋于0，则这条直线的斜率趋于4。这条通过点P(2,4)且斜率为4的直线就是该点的切线。

我们知道点斜式方程y-y0=k(x-x0)已知点和斜率，带入点斜式方程就可以知道切线方程了。

所以几何意义上，瞬时变化率是切线的斜率,也就是当h趋于0时“割线”的斜率。 从下面的定义也可看出，计算变化率和计算切线斜率的公式相近，只不多前面多了一个极限符号。 所以变化率的计算和斜率计算是一回事，都是对应的变化量相除。而变化量的相除一般用有h的那个式子，因为这样我们让h无限趋于0的时候，可以算出来一个确切的数（即为瞬时变化率、切线的斜率）。