Unit8（8.4

Unit8（8.4-8.9）

【导言】

下面六章主要讲述了多元函数的求导法则，方向导数与梯度，极值最值以及几何运用的相关知识。补充内容比如多元函数的泰勒公式，因为在考纲外以及其理解难度的原因，涉及泰勒公式与基于泰勒公式的证明推导内容将不被包含。

求导包含了显函数以及隐函数的求导。显性函数的求导包含了三个知识点，多元函数转一元函数的求导办法，中间变量求导办法以及全微分的不变性。隐函数的求导则分为二元函数，三元函数以及方程组形式（三元-四元方程组）。

在掌握求导技巧以后，可以选择求一个多元函数的极值与最值。求多元函数的极值涉及了新定义的“拉格朗日乘数”，这将导致求解过程极其困难。

方向导数以及梯度则是偏向于几何方面的运用，了解它们的定义以及几何意义即可。还有一个曲面的切线，法线，法平面，切平面，都是几何方面的相关运用。

最后则讲解一道有趣的多元函数最值题，包含了“等价思想”。

【正文】

一、求导法则

Ⅰ显性函数的求导

1多转一:这里本质在于z对t（通过中间变量u，v）直接求导。因为不方便直接用t表示z，那么利用u，v做媒介的公式是很适合求解的。

(1)z=f(u,v),u=u(t),v=v(t), 那么dz/dt=(∂z/∂u) (du/dt)+ (∂z/∂v)(dv/dt)

(2)证明：①Δz=∂z/∂u Δu+∂z/∂v Δv +o（ρ）

       ②整体同除以Δt，在limΔt→0时，dz/dt=(∂z/∂u) (du/dt)+ (∂z/∂v)(dv/dt)，o（ρ）在此时等于0

2中间变量:这里是多元函数套着多元函数，也只能对底层两个变量中的一个求偏导

z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)

∂z/∂x=∂z/∂u ∂u/∂x+ ∂z/∂v ∂v/∂x

对于y则同理

3全微分不变性：利用全微分不变性可以巧解问题，省去麻烦。

z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)

dz=∂z/∂x dx +∂z/∂y dy

=(∂z/∂u ∂u/∂x+∂z/∂v ∂v/∂x)dx+(∂z/∂u ∂u/∂y+∂z/∂v ∂v/∂y)dy

Ⅱ隐函数求导

1二元情况

（1）定理

①基础条件：F(x,y)在U（P0，δ）领域内，偏导数连续；F(x0,y0)=0,

F’y(x0,y0)≠0

②结论：dy/dx=-Fx/Fy

（2）证明：

①令y=f（x）（在满足上述条件下，存在关系式y=f（x））

②F(x,f(x))=0，两边同时对x求偏导，根据多元函数求导法则，得出∂F/∂x+∂F/∂y dy/dx=0，从而得出结论

2三元情况

（1）条件：F(x,y,z)在U（P0，δ）领域内，偏导数连续；F(x0,y0)=0,

F’z(x0,y0)≠0

(2)结论：①存在关系：z=f（x，y）（隐函数存在定理）②∂z/∂x=-Fx/Fz，y也同理

3方程组

（1）三元F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0----x=x，y=y（x），z=z（x）

①条件：F,G在U(P0,δ)内各偏导连续，F0=G0=0；

定义J=∂（F,G）/∂(x,y)=FyGz-FzGy≠0

②结论：存在唯一的y=y（x）与z=z（x），使得y0=y（x0），z0=z（x0）

且dy/dx=（-1/J） （∂（F,G）/∂(x,z)） dz/dx=（-1/J） （∂（F,G）/∂(x,y)）

③证明：左右同导

(2)四元情形：F（x，y，z，u）=0，G（x，y，z,u）=0---u=u(x,y), v=v(x,y)

①条件：F,G在U（P0，δ）内各偏导连续，F0=G0=0,

定义J=FuGv-FvGu

②结论：∂u/∂x=-1/J [∂(F,G)/ ∂(x,v)]. 这里记住一个方法，1/J，∂（F,G）是不变的，变的是∂（x，v）。对x求偏导那么左边就是x，而是u对x求偏导，那么右边就不是u，而是v

（3）反函数

①条件：u=u(x,y), v=v(x,y); (x0,y0)领域内偏导连续，

 U0=(x0,y0), v0=(x0,y0),UxVy-UyVx≠0

②结论：存在反函数x=x（u，v），y=y（u，v） 且x0=x(u0,v0),y=y(u0,v0)

且：（∂v/∂y）/（∂x/∂u）=∂（u，v）/∂（x，y）

二、极值与最值

Ⅰ极值

1定义：若z=f（x，y）在U（P0,δ）内有定义，那么对任意P属于Uo（P0）（空心领域），f(P)＜f(P0)，则P0处取得极大值（如果是大于就是极小值）

2驻点与极值存在

（1）驻点：

①若z=f（x，y）在P0有偏导，有极值，则fx=fy=0（多元的话就是在P0处对所有变量的偏导都为0）。固定y=y0，f（x，y0）在x=x0处取得的极值是相同的

②在极值点处构造切平面：z-z0=fx（x-x0）+fy（y-y0）

（2）极值存在定理： 设fxx=A，fxy=B，fyy=C

①AC-B*2>0，是极值点

②AC-B*2＜0，不是极值点

③若AC-B*2=0，则定理失效，继续讨论。证实的思路是用定义去证明这个点是极值点，证伪的思路是取两个不同情况互相矛盾，则不是极值点（一个全小，一个全大）

3条件极值

（1）基础：z=f（x，y），约束以条件Φ（x，y）=0.此时要注意，x与y在之前的二元函数是没有联系的，不联动的，就是说不管你x怎么取，y不会被影响。但是加了约束条件以后，x取值会影响y取值，y和x是联动的。

（2）设y=φ（x），那么z=f（x，φ（x））（在x=x0处）

（3）①z对x求导：dz/dx|x=x0=fx+fy dy/dx=0

②隐函数求导法则：dy/dx=-Φx（x0，y0）/Φy（x0，y0）。利用约束条件来求dy/dx

③将②式代入①式子，整理可得，fx/Φx=fy/Φy

设这个比值为-λ0. λ的学名是拉格朗日乘数。引入λ将对极值的求解大有裨益

④构造拉格朗日辅助函数：

F（x，y，λ）=f（x，y）+λΦ（x，y）

⑤条件驻点满足方程组：Fx=Fy=Fλ=0.

本质：F（x，y）=f（x，y）+λΦ（x，y）。若F在P0处取得极值，则z=f（x，y）在Φ=0的情况下，P0处也能取得极值。

Ⅱ最值求解思路

1.求z=f（x，y）在D内部的所有驻点与不可导点对应的函数值

2.求z=f（x，y）在约束条件Φ（x，y）=0边界下可能极值点对应函数值

3.比大小

三、应用：方向导数，梯度

Ⅰ方向导数

1定义

ΔZl=f（x0+ Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）为l方向上的增量

（2）①Lo（向量）（l方向的单位向量）=（cosα，sinα）。

②定义ρ=【（Δx）*2+（Δy）*2】*0.5。那么x=x0+ρcosα，y=y0+ρsinα

（3）lim（P→P0）（或者写ρ→0）ΔΔz/ρ

=lim（P→P0）∂ f（z）/∂l |P0

= ∂f/∂x|P0 cosα+∂f/∂y|P0 sinα

= ∂f/∂x|P0 cosα+∂f/∂y|P0cosβ

2意义：方向导数的几何含义即此点沿l方向半切线与l的斜率

1定义

（1）∂f/∂l|P0=fx cosα+fy cosβ

①设g=（fx，fy），el=（cosα，cosβ）

②∂f/∂l|P0 =|g| cosγ（γ为g与方向向量el的夹角）

③记g=gradf（x0，y0）。每个点的g方向是固定的，此点沿着这个方向的增速最快，即方向线服从g方向。

2实际运用：等值线

（1）f（x，y）=C----x=x, y=y(x)

(2)s=（1，y‘），为方便起见，设s=（dx，dy），即切向方向向量

（3）对f（x，y）=C两边同求微分，则df=∂f/∂x dx+ ∂f/∂y dy=0

①提取向量：前面涉及的s，以及（∂f/∂x，∂f/∂y），这个的本质是grad f

②gradf（梯度） s（切向方向向量）=0

四。几何运用

Ⅰ对于空间曲线的：切线与法平面的参数式与一般式

参数式情况

（1）构建参数式并取点：

①x=x（t），y=y（t），z=z（t），t∈【α，β】，

②P0（x0，y0，z0），对应同一个t0

（2）若x‘（t0），y‘（t0），z’（t0）存在且不全为0

①T切（斜率）=（x‘（t0），y‘（t0），z’（t0））

②对称式以求得切线，点法式以求得法平面

2一般式情况

（1）可以考虑转为参数式

（2）定理：F（x，y，z）=G（x，y，z）=0

则T切

={∂（F,G）/∂（y，z），∂（F,G）/∂（z，x），∂（F,G）/∂（x，y）}|P0

Ⅱ对于曲面的切平面与法线：

定义：过点M0处所有切线汇聚成为切平面，过M0且垂直于切平面为法线

2情形

（1）F（x，y，z）=0，那么n=（Fx,Fy,Fz）

(2)z=f(x,y),那么相当于F(x,y,z)=z-f（x，y）=0，n=（fx，fy，-1）

四、技巧

Ⅰ比如T=xyz,约束条件x*2+y*2+z*2=1，求Tmax

那么不如设T1=ln|xyz|，求得T1的最大值从而求得T的最大值，更为简便。