极值点可以是原函数无意义的点吗？拐点可以是原函数无意义的点吗？极值点包括可能是驻点或不可导点。

首先，条件只说f可导，没说f二阶可导。有可能f在x0取极大值，f'(x0)=0，但f''(x0)不存在。例如函数f(x)=(sgnx-2)*x^2在0点的情形。

其次，即便f二阶可导，如你所言，也有可能出现f在x0取极大值，而f'(x0)=f''(x0)=0的情形。例如函数f(x)=-x^4在x=0处。

当f'(x0)=f''(x0)=0时，假如f在x0处有更高阶的导数，有个标准的判别法（这个可能是lz需要的）：

以f_n(x0)记f在x0处的n阶导数，如果f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0, f_(k+1)(x0)≠0。则(1) k为偶数时，x0不是极值点；(2) k为奇数时，x0是极大值点当且仅当 f_(k+1)(x0);0注意，(2)中前提是f_(k+1)(x0)≠0。

至于证明，用带peano余项的taylor公式（展到(k+1)阶）即可。

上述判别法虽然在多数情形下都够用，但并不能解决所有情况！如果f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0但f_(k+1)(x0)不存在，此判别法自然失效。

另外，即使f在x0邻域内任意次可导，如果f在x0处的各阶导数都为0，情况也很囧……注意，实变函数中这种情形是有可能出现的，f在x0处的各阶导数都为0，并不意味着f在x0的一个邻域内为常数函数。经典的例子是f(x)=exp(-1/x^2), f(0)补充定义为0. 对于这样的函数，上面的判别法也失效。

综上，充分性是不对的。极值点在大多数情况下可用此点导数值判断，但遇到一些诡异的情况时导数并不奏效……此时只能考虑从定义入手讨论。例如，若能说明存在t;0,x0-t;x;x0时f’(x0)≥0，x0;x;x0+t时f’(x0)≤0，当然可知x0是f的极大值点。

至于拐点，一般可化为极值点讨论。事实上，如果f在x0邻域内可导，那么“x0为f的拐点”等价于“x0为f'的极值点”。所以与极值点类似，拐点也很难说有简单的充要条件，不过上述判别法仍然是一个很好的判据。

另外，拐点首先看的是二阶导数（讨论f'的驻点），跟f的驻点并无直接联系！

实际上不难证明（lz有兴趣不妨试试，算是个不错的练习题）：若f的一个可导点既是严格极值点也是拐点，那f在此点的一个邻域内只能是常数函数！如果去掉“严格”二字，结论变为：在此点的一个左邻域或右邻域内为常数函数。