MLP多层感知机梯度推导与反向传播

1.MLP梯度推导

2.MLP链式法则

3.MLP反向传播

单输出感知器模型：

运算法则：

输入X乘以权重W得到y，再通过激活函数得到输出(O)。在这里，激活函数是sigmoid函数。

E是loss函数值，这里是输出值(output)与真实值(target)的欧式距离。

E的大小是评价感知器模型好坏的指标之一，w权重是描述这个感知器模型的参数，通过计算E来优化感知器模型，即优化w的值。

表示第I层，第j个输入链接第k个输出的权值w。以下先对一个权重(值)w求得感知器模型的梯度。

红色部分使用了链式法则，链式法则其实就是连续求导，这里将求得sigmoid函数的导数。sigmoid导数如何求，将在下一环节展示。求得的sigmoid导数是s‘(x) = s(x)(1 - s(x))

现在把单个输出的感知器模型推广成多输出感知器模型。

按照上面的思路，求w的梯度：

从上图加粗的线可以知道，Wjk只对Ok值有贡献，对Oi(i不等于k)没有贡献。因此Oi(i不等于k)对Wjk的偏导为0。换句话说，相关梯度与输入结点有关。

以上，梯度推导完毕。

 求导过程：

链式法则如下： 

多层感知器模型：

参考上面的公式推导，现在完成从1到K的泛化处理。

首先根据前面的结论，梯度推导为：

针对多层感知器，x是该层的输入，即是上一层的输出O。如果这里用x表示会有歧义，因为O = sigmoid(x)，x必须经过激活函数之后才会得到O，所以对多层感知器而言，梯度推导为：

K-1便是上图所对应的J。

现在，我们对结合上述结论，以及链式法则，完成下一层的梯度求导，即对求导。

先求到K层的梯度，继续使用链式法则，在K层的梯度上继续求第J层。

上述推导可以参考图4完成。I，J，K是连续的3层，即J = I + 1，K = J + 1。

通过上述推导，仔细的同学应该能发现其中的一定的规律，现在开始对其简化。

对第K层的第k结点有：

其中：

同理，对第J(K = J + 1)层的第j个结点有：

其中：

现在开始说反向传播。如果通过前向通路求得个个参数的梯度十分困难和繁琐。比如你需要先对第I层求得梯度，然后又求得第J层，最后是第K层。这样会重复计算，会造成资源浪费。对于反向传播的详细概念这里不赘述，可以参考：

https://www.jianshu.com/p/964345dddb70

如果使用反向传播的话，可以一次计算所有参数。如同上述推导过程一样，如果你要对第J层（第J层不是输出层，第K层是输出层）求得梯度，那么必须要经过求得第K层（输出层）梯度基础上才行，第I层，I-1，...,0层（输入层）同理。参考以下图示理解：

图5求得和。

在图5的基础上，在图6中求得和。依此类推：

图7在图5和图6的基础上，求得和。

以上，整个推导流程完毕。推导的时候，如果有疑惑一定要参考图示。

参考：网易公开课。