多元函数微分法及其应用习题

多元函数微分法及其应用习题

一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极限

运算多元连续函数的性质多元函数连续的概念全微分概念方向导数全

微分的应用复合函数求导法则高阶偏导数偏导数概念全微分形式的不

变性隐函数求导法则多元函数的极值微分法在几何上的应用

1

、区域

（

1

）邻域（

2

）区域连通的开集称为区域或开区域．（

3

）聚点（

4

）

n

维空间

2

、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．

3

、

多元函数的极限（

1

）定义中的方式是任意的；（

2

）二元函数的极限

也叫二重极限说明：（

3

）二元函数的极限运算法则与一元函数类

似．

4

、极限的运算

5

、多元函数的连续性

6

、多元连续函数的性质（

1

）

最大值和最小值定理在有界闭区域

D

上的多元连续函数，在

D

上至少

取得它的最大值和最小值各一次．（

2

）介值定理在有界闭区域

D

上的

多元连续函数，如果在

D

上取得两个不同的函数值，则它在

D

上取得

介于这两值之间的任何值至少一次．

7

、偏导数概念８、高阶偏导数纯

偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

.

９、全

微分概念函数连续函数可导函数可微偏导数连续多元函数连续、可导、

可微的关系

10

、全微分的应用主要方面

:

近似计算与误差估计

.

以上公

式中的导数称为全导数

.11

、复合函数求导法则无论是自变量的函数或

中间变量的函数，它的全微分形式是一样的

.12

、全微分形式不变性

13

、

隐函数的求导法则隐函数的求导公式

14

、微分法在几何上的应用

(1)

空

间曲线的切线与法平面切线方程为法平面方程为

(

２

)

曲面的切平面与法

线切平面方程为法线方程为

15

、方向导数记为三元函数方向导数的定

义梯度的概念梯度与方向导数的关系

16

、多元函数的极值定义多元函

数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的

驻点

.

驻点极值点注意条件极值：对自变量有附加条件的极值．二、典

型例题例

1

解例

2

解例

3

解于是可得

,

例

4

解例

5

解例

6

解分析

:

得测验

题测验题答案设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点

的全体，称为点的邻域，记为，