函数的单调性，极值和最值

单调性是函数重要性质，比较f（x1）和f（x2）的大小来判断函数的单调性，可以通过函数值作差或者是作商来实现判断函数值大小的目的。

若f'（x）＞0，则有f（x）在定义域上单调递增；若f'（x）＜0，则有f（x）在定义域上单调递减。

讨论一个函数的单调性，只需求出该函数的导数，再判别导数的符号即可。为此，我们要把导数f'(x)取正值和负值的区间进行划分.当导数连续时，f'(x)取正值和负值的分界点上应有f'(x)= 0，因此，讨论函数单调性的步骤如下：

(1)确定f(x)的定义域；

(2)求f'(x),并求出f(x)单调区间的所有可能的分界点(包括使f'(x)=0.的点、f'(x)不存在的点)，并根据分界点把定义域分成相应的区间；

(3)判断一阶导数f'(x)在各区间内的符号，从而判断函数在各区间中的单调性；

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。→来自科普中国极值词条

函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称作极值点。由定义可知，极大值和极小值是局部概念，函数某区间上的极大值不一定大于极小值。

因此，关于函数极值应注意以下两点：

(1)函数极值的概念是局部性的，在一个区间内，函数可能存在许多心极值，函数的极大和极小值之间并无确定的大小关系；

(2)由极值的定义知，函数的极值只能在区间内部取得，不能在区间端点上取得。

若可导函数y=f（x）在x0处取得极值，则点x₀一定是其驻点，即f'（x）=0。（在微积分，驻点（Stationary Point）又称为平稳点、稳定点或临界点（Critical Point）是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。→来自科普中国驻点词条）

同时需要注意的是：

(1)在f'(x₀)存在时，f'(x₀)=0 不是极值存在的充分条件。即函数的驻点不一定是函数的极值点.例如，x=0 是函数y=x³的驻点，但不是极值点。

(2)函数在导数不存在的点处也可能取得极值。例如，y=|x|在x=0 处导数不存在，但函数在该点取得极小值y(x₀)= 0.另外，导数不

存在的点也可能不是极值点，例如，y=1/x³在 x=0 处切线垂直于x轴，导数不存在，但x=0不是函数的极值点.

因此把驻点和导数不存在的点统称为可能极值点。

1、第一充分条件：

（1）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＞0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＜0，则f（x）在x₀处取得极大值。

（2）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＜0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＞0，则f（x）在x₀处取得极小值。

（3）如果当x∈（x₀-δ，x₀）及x∈（x₀，x₀+δ）时，f'（x）符号相同，则f（x）在x₀处无极值。

2、第二充分条件

设f（x）在x₀处具有二阶导数，且f'（x₀）=0，f''（x₀）≠0，那么当f''（x₀）＜0时，函数f（x）在x₀处取得极大值；当f''（x₀）＞0，函数f（x）在x₀处取得极小值。当f''（x₀）=0，f（x₀）可能是极值也可能不是极值。

3、第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导，且

f的m次方（x₀）=0 （m=1，2，……，n-1）

f的n次方（x₀）≠0 （n≥2）

当 n 为偶数时(必须n为偶数)

当n为奇数时，x₀不是极值点。

一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。→来自科普中国最值词条

当函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数时，存在c属于[a,b]，d属于[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。

因此，可以按照以下步骤来求给定闭区间上函数的最值.

(1)在给定区间上求出函数所有可能的极值点：驻点和导数不存在的点

(2)求出函数在所有驻点，导数不存在的点和区间端点的函数值.

(3)比较这些函数值的天小，最大者即为函数在该区间的最大值，最小者即为最小值.

以上有部分高等数学教材摘抄