破解已知函数单调性求参数范围的几个难点

自从高中数学中引入了导数之后，能求解单调性问题的函数的类型和范围大大拓展了，但是随之也带来了许多困惑，本博文希望和各位一起作以探讨。

导数的相关知识，导数与函数的单调性；

恒成立命题和能成立命题；

分离参数法；

Ⅰ、已知函数的单调性，求参数的取值范围；

Ⅱ、已知函数存在单调区间，求参数的取值范围；

题型Ⅰ中，比如已知函数\(f(x)\)在区间\((a，b)\)内单调递增，正确的转化思路应该是，则\(f'(x)\geqslant 0\)在区间\((a，b)\)内恒成立且\(f'(x)=0\)在区间\((a，b)\)内不恒成立(即需要保证\(f(x)\)不是常函数，否则不符合题意，因为常函数没有单调性)，故求得参数的取值范围后，还需要对端点值作以验证，否则会产生错误的多余的解；而学生则容易错误转化为\(f'(x)>0\)在区间\((a，b)\)内恒成立，这样必然不包含区间的端点值，这样又会产生漏解；

题型Ⅱ中，比如已知函数\(f(x)\)存在单调递增区间\((a，b)\)，正确的转化思路应该是，则\(f'(x)>0\)在区间\((a，b)\)有解或者能成立；而学生则容易错误转化为\(f'(x)\ge 0\)在区间\((a，b)\)内能成立或有解，这样必然会产生错误的多余的解；

题型Ⅰ已知函数\(y=f(x)\)的单调性，求参数的取值范围

思路方法：若函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)单调递增，则\(f'(x)\ge 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立，且导函数\(f'(x)\)不恒为\(0\)；若函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)单调递减，则\(f'(x) \leq 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立，且导函数\(f'(x)\)不恒为\(0\)； 易错警示：漏掉等号，忘掉验证；

例1【2019高三理科数学资料用题】设函数\(f(x)=(x+a)e^{ax}(a\in R)\)，若函数在区间\((-4，4)\)内单调递增，求\(a\)的取值范围。

【解答】由函数\(f(x)\)在在区间\((-4，4)\)内单调递增，则\(f'(x)\ge 0\)在区间\((-4，4)\)内恒成立，

又\(f'(x)=(ax+a^2+1)e^{ax}\)，注意到\(e^{ax}>0\)恒成立，即有\(ax+a^2+1\ge 0\)在区间\((-4，4)\)内恒成立，

令\(g(x)=ax+a^2+1\)为一次型的函数，故只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{g(-4)\ge 0}\\{g(4)\ge 0}\end{array}\right.\)，

即\(\left\{\begin{array}{l}{a^2-4a+1\ge 0}\\{a^2+4a+1\ge 0}\end{array}\right.\)，

解得，\(\left\{\begin{array}{l}{a\ge 2+\sqrt{3}或a\leq 2-\sqrt{3}}\\{a\leq -2-\sqrt{3}或a\ge -2+\sqrt{3}}\end{array}\right.\)，

即\(a\in (-\infty，-2-\sqrt{3}]\cup[-2+\sqrt{3}，2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3}，+\infty)\)。

思路方法：集合法，由于函数中不含有参数，故用常规方法能很快求出单调区间，那么给定区间必然是求出的单调区间的子区间，转化为集合的关系求解；导数法，转化为导函数不等式恒成立问题求解。

例2已知函数\(f(x)=x^3+\cfrac{3}{2}x^2-6x+1\)在区间\([a，a+1]\)上单调递减，求参数\(a\)的取值范围。1

分析：集合法，先用导数的方法求得函数\(f(x)\)的单调递减区间，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，

令\(f'(x)0\)在区间\([5，20]\)上有解；分离参数得到，\(k0\)有解，分离参数，再转化为求新函数的最值问题即可，结果：\(a\in (-\infty，2ln2-2)\)；

集合的关系习题↩