原函数存在与定积分存在(可积)的区别

从性质来看，定积分是 f ( x ) f(x) f(x)的曲线下面积，也就是一个数值，而原函数是一个函数，一个函数存在与否和一个数值是否存在完全就是两码事儿，但是本质上却有一定的联系，建立在某种条件成立的前提下

f ( x ) f(x) f(x)在区间上连续，必有原函数；但有原函数不一定连续；

f ( x ) f(x) f(x)在区间上有第一类间断点，必没有原函数；

f ( x ) f(x) f(x)在区间上有第二类间断点，可能有原函数；

【注：初等函数在区间上连续，故初等函数在其定义区间一定存在原函数】

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间内连续，则定积分存在。但定积分存在（可积）不一定连续

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间内有界且只有限个间断点，则定积分存在

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间内只有限个第一类间断点，则定积分存在

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间上单调，则定积分存在

f ( x ) f(x) f(x)可积则 f ( x ) f(x) f(x)有界，但有界不一定可积（如狄利克雷函数）

若函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间上连续，则变上限积分函数在此区间内可导，且导函数等于 f ( x ) f(x) f(x) 注意： 1.不连续函数的变上限积分有的不可导，有的可导（如本点无定义的可去间断点） 2.可积函数的变上限积分一定连续

1.（1） f ( x ) f(x) f(x)在闭区间连续时，原函数存在，定积分存在，且变上限定积分函数是 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数。 （2）设原函数为变上限积分函数，当被积函数在闭区间内 有界 且有有限个第一类间断点时，则 f ( x ) f(x) f(x)可积，原函数不存在，变限积分函数不一定可导，但其在此区间一定连续 （3）设原函数为变上限积分函数，当被积函数在闭区间内 有界 且有有限个第二类间断点时，则 f ( x ) f(x) f(x)可积，原函数可能会存在，变限积分函数不一定可导，但其在此区间一定连续 （4）设原函数为变上限积分函数，当被积函数在闭区间内只有有限个第一类间断点时，则 f ( x ) f(x) f(x)可积，原函数不存在，变限积分函数不一定可导（如果是可去间断点的时候，变上限积分函数是可导的。如果是跳跃间断点，肯定不可导，因为达布定理），但其在此区间一定连续

2. f ( x ) f(x) f(x)在闭区间连续，则变上限定积分函数可导； f ( x ) f(x) f(x)可积，变限积分函数不一定可导，但其在此区间一定连续