多元函数微分学

1．判断下列论述是否正确，并说明理由：

（1）极限 \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} 既是 x 的一元函数 z=f(x,y_0) 在点 x_0 处的导数，也是二元函数 z=f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 处对变量 x 的偏导数；

（2）二元函数在某一点处连续是在这点偏导数存在的必要条件；

（3）二元函数的两个二阶混合偏导数 \frac{\partial^2f}{\partial x \partial y} 与 \frac{\partial^2f}{\partial y \partial x} 只要存在就一定相等．

2．求下列函数对各个自变量的一阶偏导数：

（1） z=e^{xy}\ln x+\tan(3x-y) ； （2） s=\frac{u+v}{u-v} ；

（3） z=\arcsin(2x-3y) ； （4） z=\ln\left( x+\sqrt{x^2+y^2} \right) ；

（5） z=\ln \left( \sin\frac{x+2}{\sqrt y} \right) ； （6） z=\arctan\sqrt{xy-1} ；

（7） z=(1+2x)^{3y} ； （8） z=\frac x{\sqrt{x^2+y^2}|} ；

（9） u=\sin \frac xy \cos \frac yx +z ； （10） u=\left( xy+\frac xy \right)^z ．

3．求下列函数在指定点的偏导数：

（1） f(x,y)=x^2\sin y ，求 \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{\left(2,\frac{\pi}{6} \right)}，\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{\left(2,\frac{\pi}{6} \right)} ；

（2）设 z=y\sin(xy)-(1-x)\arctan y+e^{x-2y} ，求 z_x(1,0) 及 z_y(1,0) ．

4．求曲线 \left\{\array{z=xy, \\ y=1 }\right. 在点 (2,1,2) 处的切线与 x 轴正向的夹角．

5．设 f(x,y)=\ln\left( x+\frac{y}{2x} \right)+(x-1)\arctan \sqrt\frac yx ，求 f_y(1,y) .

6．求下列函数的高阶偏导数：

（1）设 z=xy^3-2x^3y^2+x+y+1 ，求 \frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} ， \frac{\partial ^3 z}{\partial x\partial y^2} 和 \frac{\partial ^4 z}{\partial y^4} .

（2）设 z=x^{2y} ，求 \frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} ， \frac{\partial ^2 z}{\partial x\partial y} 和 \frac{\partial ^2 z}{\partial y^2} ．

（3）设 z=\sqrt{2xy+y^2} ，求 \left.\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\right|_{(0,1)} 和 \left.\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,2)} ．

（4）设 f(x,y,z)=\ln(xy+z) ，求 f_{xx}(1,2,0) 和 f_{zyx}(1,2,0) ．

7．验证：

（1） z=xy+xe^\frac yx 满足 x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=xy+z ．

（2） z=\ln(e^x+e^y) 满足 \frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}\right)^2=0 ．

（3） z=2\cos^2\left(x-\frac y2 \right) 满足 2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=0 ．

8．若函数 f(x)，g(x) 都可导，设 z=f(x)g(y) ，证明 \frac {\partial z}{\partial x}\frac {\partial z}{\partial y}=z\frac{\partial ^z x}{\partial x\partial y} ．