函数列与函数项级数

试总结函数列一致收敛的判别方法。

试总结函数项级数一致收敛的判别方法。

设S(x)S(x)S(x)在[0,1][0,1][0,1]上连续，且S(1)=0S(1)=0S(1)=0，证明：{xnS(x)}\{x^nS(x)\}{xnS(x)}在[0,1][0,1][0,1]上一致收敛.

判断以下函数项级数是否一致收敛？

a. ∑n=1n=∞sin⁡xsin⁡nxn\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n}}n=1∑n=∞​n​sinxsinnx​

b. ∑n=0n=∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{x^2}{(1+x^2)^n}n=0∑n=∞​(1+x2)nx2​

解 a.(定义)

我们称函数列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn​(x)} 在 DDD 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x) ,如果∀ϵ>0,∃N,∀n>N\forall\epsilon>0,\exists N,\forall n>N∀ϵ>0,∃N,∀n>N, 对一切 x∈Dx\in Dx∈D ,都有 ∣fn(x)−f(x)∣N,对一切x∈D,都有∣fn(x)−fm(x)∣0,\exists N>0,\forall n,m>N,\text{对一切}x\in D\text{,都有}\left|f_n(x)-f_m(x)\right|0,∃N>0,∀n,m>N,对一切x∈D,都有∣fn​(x)−fm​(x)∣0\varepsilon>0ε>0, 存在正整数 N=N(ε)N=N(\varepsilon)N=N(ε), 使

∣un+1(x)+un+2(x)+⋯+um(x)∣n, 有

∣un+1(x)+un+2(x)+⋯+um(x)∣\left|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_m(x)\right|∣un+1​(x)+un+2​(x)+⋯+um​(x)∣

⩽∣un+1(x)∣+∣un+2(x)∣+⋯+∣um(x)∣\leqslant\left|u_{n+1}(x)\right|+\left|u_{n+2}(x)\right|+\cdots+\left|u_m(x)\right|⩽∣un+1​(x)∣+∣un+2​(x)∣+⋯+∣um​(x)∣

⩽an+1+an+2+⋯+am, \leqslant a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m \text {, }⩽an+1​+an+2​+⋯+am​, 

由a. 和数项级数的 Cauchy 收敛原理, 即得到 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)n=1∑∞​un​(x) 在 DDD 上一致收敛.

c. (函数项级数的A-D判别法)

设函数项级数 ∑n=1∞an(x)bn(x)(x∈D)\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)(x \in D)n=1∑∞​an​(x)bn​(x)(x∈D) 满足如下两个条件之一, 则 ∑n=1∞an(x)bn(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)n=1∑∞​an​(x)bn​(x) 在 DDD 上一致收敛.

NO1. (Abel 判别法) 函数序列 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\}{an​(x)} 对每一固定的 x∈Dx \in Dx∈D 关于 nnn 是单调的,且 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\}{an​(x)} 在 DDD 上一致有界:

∣an(x)∣⩽M,x∈D,n∈N+;\left|a_n(x)\right| \leqslant M, \quad x \in D, \quad n \in \mathbf{N}^{+} ; ∣an​(x)∣⩽M,x∈D,n∈N+;

同时, 函数项级数 ∑n=1∞bn(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n(x)n=1∑∞​bn​(x) 在 DDD 上一致收玫. No2. (Dirichlet 判别法) 函数序列 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\}{an​(x)} 对每一固定的 x∈Dx \in Dx∈D 关于 nnn 是单调 的, 且 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\}{an​(x)} 在 DDD 上一致收敛于 0 ; 同时, 函数项级数 ∑n=1∞bn(x)\sum_{n=1}^{\infty} b_n(x)∑n=1∞​bn​(x) 的部分和序列在 DDD 上 一致有界:

∣∑k=1nbk(x)∣⩽M,x∈D,n∈N+.\left|\sum_{k=1}^n b_k(x)\right| \leqslant M, \quad x \in D, \quad n \in \mathbf{N}^{+} . ∣∣∣∣∣∣​k=1∑n​bk​(x)∣∣∣∣∣∣​⩽M,x∈D,n∈N+.

思路 利用函数列一致收敛的定义来证明，本题只需证明对任意的x∈[0,1]x\in[0,1]x∈[0,1], 有∣xnS(x)∣N时，∣xn∣\frac{n x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{2 n}}>\frac{1}{\mathrm{e}^2}=\varepsilon_0, k=n+1∑m​uk​(xn​)=(1+xn2​)n+1xn2​​+(1+xn2​)n+2xn2​​+⋯+(1+xn2​)2nxn2​​>(1+xn2​)2nnxn2​​>e21​=ε0​,

所以 ∑n=0∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}n=0∑∞​(1+x2)nx2​ 不满足一致收敛的 Cauchy 收敛原理的条件, 由此可知 ∑n=0∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}n=0∑∞​(1+x2)nx2​ 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 上非一致收敛.