z变换与s变换之间的转换（一些零碎且不严谨的想法）

  我们发现：z变换并不能直接对连续系统的传递函数G(s)进行 z = e s T , s = l n ⁡ z T z=e^sT,s=\frac{ln⁡z}{T} z=esT,s=Tln⁡z​的简单替换。首先T的意义是采样信号的时间间隔，同时也是采样频率的倒数。而对于连续系统，“采样时间间隔”为0。 我们做如下对比： ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − s t d t = G ( s ) \int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)e^{-st}dt}=G(s) ∫−∞+∞​f(t)e−stdt=G(s) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ T ( t ) e − s t d t = ∑ n = − ∞ ∞ f ( n T ) e − n s T = G ( z ) \int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\delta_T(t)e^{-st}dt}= \sum_{n=-\infty}^{\infty}{f(nT)e^{-nsT}}=G(z) ∫−∞+∞​f(t)δT​(t)e−stdt=n=−∞∑∞​f(nT)e−nsT=G(z) 我们利用定积分的定义： ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ [ ∑ i = 0 n − 1 ( f ( x 1 + i ⋅ Δ x ) ⋅ Δ x ) ] ( Δ x = ( x 2 − x 1 ) / n ) ∫_{x_1}^{x_2}{f(x)dx}=\lim_{n→\infty} \left[\sum_{i=0}^{n-1}{(f(x_1+i⋅\Delta x)⋅\Delta x)}\right] (\Delta x=(x_2-x_1)/n) ∫x1​x2​​f(x)dx=n→∞lim​[i=0∑n−1​(f(x1​+i⋅Δx)⋅Δx)](Δx=(x2​−x1​)/n) 所以，我们可以尝试这样的变换（自己推的哈哈，不会严谨的证明）： lim ⁡ T → 0 ⁡ ∑ n = − ∞ ∞ ( T ⋅ f ( n T ) e − n s T ) = lim ⁡ T → 0 ⁡ [ ∑ n = − ∞ ∞ ( f ( n T ) e − n s T ⋅ T ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − s t d t = G ( s ) \lim_{T\to0}⁡\sum_{n=-\infty}^\infty {(T\cdot f(nT) e^{-nsT})} =\lim_{T\to0}⁡\left[\sum_{n=-\infty}^\infty(f(nT) e^{-nsT}⋅T)\right] =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-st}dt=G(s) T→0lim​⁡n=−∞∑∞​(T⋅f(nT)e−nsT)=T→0lim​⁡[n=−∞∑∞​(f(nT)e−nsT⋅T)]=∫−∞+∞​f(t)e−stdt=G(s) ⇒ lim ⁡ T → 0 T ⋅ G ( z ) = G ( s ) ⇒\lim_{T\to0}{T⋅G(z)}=G(s) ⇒T→0lim​T⋅G(z)=G(s)   如 1 ( t ) → 1 s → 1 1 − z − 1 1(t)→\frac{1}{s}→\frac{1}{1-z^{-1}} 1(t)→s1​→1−z−11​，（其他例子没试过。。。，这里用的是泰勒展开取前几项）（当然，求极限也可以用L’hospital rule(洛必达法则)） lim ⁡ T → 0 T ⋅ 1 1 − e − s T → Taylor expansion lim ⁡ T → 0 T 1 − 1 − s T = lim ⁡ T → 0 T s T = 1 s \lim_{T→0}{T⋅\frac{1}{1-e^{-sT}}}\xrightarrow{\text{Taylor expansion}} \lim_{T→0}{\frac{T}{1-{1-sT}}}=\lim_{T→0}{\frac{T}{sT}}=\frac{1}{s} T→0lim​T⋅1−e−sT1​Taylor expansion ​T→0lim​1−1−sTT​=T→0lim​sTT​=s1​   或许可以试试把 s → 1 − z − 1 T s→\frac{1-z^{-1}}{T} s→T1−z−1​？（其实不行，一个直观的理由是： lim ⁡ T → 0 ⁡ 1 − z − 1 T = s \lim_{T→0}{⁡\frac{1-z^{-1}}{T}}=s limT→0​⁡T1−z−1​=s，但不过这只是一种满射（也就是说不止一种表达式的极限等于s），所以我们暂时只能利用极限从s域变为z域）