8.1 内积定义与表示

2024-07-14 10:47| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录双线性函数内积内积表示4 柯西-施瓦茨不等式5 度量矩阵基的变换

双线性函数

线性代数里的双线性函数，是将定义在域F上的线性空间里的两个变量，映射为一个域F上的一个元素。它必须要符合以下四个要求，才能叫做双线性函数：

f ( u , w 1 + w 2 ) = f ( u , w 1 ) + f ( u , w 2 ) f(\bold u,\bold w_1+\bold w_2)=f(\bold u,\bold w_1)+f(\bold u,\bold w_2) f(u,w1+w2)=f(u,w1)+f(u,w2) f ( u 1 + u 2 , w ) = f ( u 1 , w ) + f ( u 2 , w ) f(\bold u_1+\bold u_2,\bold w)=f(\bold u_1,\bold w)+f(\bold u_2,\bold w) f(u1+u2,w)=f(u1,w)+f(u2,w) f ( k u , w ) = k f ( u , w ) f(k\bold u,\bold w)=kf(\bold u,\bold w) f(ku,w)=kf(u,w) f ( u , k w ) = k f ( u , w ) f(\bold u,k\bold w)=kf(\bold u,\bold w) f(u,kw)=kf(u,w)

以上四点保证了线性性和结合律，又因为是两个变量的函数，所以叫双线性函数。

内积

内积也是一种双线性函数，不过定义更加严格，加了两点要求：对称性和正定性。内积一般就不用函数符号 f f f，而是直接一对括号就可以了。

对称性， ( u , w ) = ( w , u ) (\bold u,\bold w)=(\bold w,\bold u) (u,w)=(w,u)正定性， ( u , w ) ≥ 0 (\bold u,\bold w)\ge 0 (u,w)≥0 内积表示

内积有很多，千奇百怪，可以用度量矩阵表示内积，这样形式上就统一了。度量矩阵在外国教材里一般叫度量张量Mertic tensor，因为2-张量就是矩阵嘛。当然度量矩阵不是内积专有的，所有双线性函数都有度量矩阵，它的定义如下： A = ( ( e 1 , e 1 ) ( e 1 , e 2 ) ⋯ ( e 1 , e n ) ( e 2 , e 1 ) ( e 2 , e 2 ) ⋯ ( e 2 , e n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( e n , e 1 ) ( e n , e 2 ) ⋯ ( e n , e n ) ) A=\begin{pmatrix} (e_1,e_1) & (e_1,e_2) & \cdots & (e_1,e_n)\\ (e_2,e_1) & (e_2,e_2) & \cdots & (e_2,e_n)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ (e_n,e_1) & (e_n,e_2) & \cdots & (e_n,e_n)\\ \end{pmatrix} A= (e1,e1)(e2,e1)⋮(en,e1)(e1,e2)(e2,e2)⋮(en,e2)⋯⋯⋱⋯(e1,en)(e2,en)⋮(en,en) 公式中的 e 1 , e 2 , ⋯ , e n e_1,e_2,\cdots,e_n e1,e2,⋯,en是任意一组基，一般情况下用自然基。有了度量矩阵后，计算内积就可以使用 ( α , β ) = α T A β (\alpha,\beta)=\alpha^TA\beta (α,β)=αTAβ来计算了。内积的度量矩阵必须是实对称正定矩阵。这样不好记忆，毕竟记住一个矩阵不容易，有一个特别简单的公式用来记忆： A i j = ( e i , e j ) A_{ij}=(e_i,e_j) Aij=(ei,ej) 也就是说第i行第j列元素的值就是第i个基和第j个基做双线性运算。这个时候，用代码计算内积就非常容易了：

# 内积 @staticmethod def inner_product(vector1, vector2, matrix=None): a = Matrix(Matrix([vector1]).transpose()) b = Matrix([vector2]) # 如果没定义内积矩阵，则是标准内积 if matrix is None: return (a * b).vectors[0][0] # 如果长度小了呢？ return (a * matrix * b).vectors[0][0] 4 柯西-施瓦茨不等式

这个不等式的内容就是： ( x ⋅ y ) ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥ (x\cdot y)\le \parallel x\parallel\parallel y\parallel (x⋅y)≤∥x∥∥y∥ 公式里的范数是内积导出的范数， ∥ x ∥ = ( x , x ) \parallel x\parallel=\sqrt{(x,x)} ∥x∥=(x,x) 。

5 度量矩阵基的变换

不同基下的度量矩阵是不一样的。而这个问题，可以在我的另一篇文章8.4 矩阵的合同里看到。

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