工程力学复习（2）

材料力学中分析的构件主要是杆，杆作主要的受力方式是拉压弯扭，因此我们从这些方面去分析就可以了。

这是我们的主线剧情，同时，这个章节还安插了一个支线剧情，就是连接部分的强度计算（稍后补上）。

先来看看主线部分

对于杆件的轴向拉压，我们主要关注下面的内容

这一条路线对于轴向拉压杆来说相当简单，因为沿轴线方向只能列出一个平衡方程，因此我们求沿轴向的内力（轴力）分布非常方便，这里额外规定一下轴力的方向就可以了：对分离出来的部分杆来讲，受拉为正，受压为负

根据轴力沿轴方向的分布，我们可以画出轴力图，确定危险截面。

应力的分析也不困难，从实验的观察当中，我们归纳出

拉压杆的平面假设：变形后横截面仍然保持平面，且仍然与杆轴垂直，只是横截面间沿杆轴相对平移。

换成人话来讲，就是拉压杆的横截面（注意，不是斜截面）上仅存在正应力 \sigma ，并且这个正应力沿截面均匀分布。

设轴力为 F_N ，轴面积为 A ，我们很方便地就能得出

\sigma=\frac{F_N}{A}

如果我们要在倾斜的面上分析应力的话，由图分析，可以得出

p_\alpha=\frac{F}{\frac{A}{\cos\alpha}}=\frac{F\cos\alpha}{A}

得到相应的

正应力 \sigma_\alpha=\frac{F}{A}\cos^2\alpha

切应力 \tau_\alpha=\frac{F}{A}\cos\alpha\sin\alpha

显然 \alpha=45^\circ 的截面受到的切应力最大， \alpha=0^\circ 的截面受到的正应力最大

从上面的分析中我们就得到了轴向拉压杆的应力分布，从而能够找到最大应力的截面与部分来和许用应力 [\sigma] 进行比较。注意这里的许用应力并不是极限应力，是需要有足够的设计余量。

对于轴向拉压杆来说，就是

(\frac{F}{A})_{max}\leq[\sigma]

材料的力学性能指材料在外力作用下所表现出来的变形、破坏等方面的特性。

这个部分是沟通材料受力时应力与应变的桥梁，名词也比较多。

如果没有小变形假设与弹性假设，这些力学性能可谓是丰富多彩的，每一种材料的性能都不尽相同，不方便我们进行具体计算，于是书上只能摆出一堆名词让我们记（半恼）。

比如低碳钢拉伸时的四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段

还有这个过程中的三个极限：比例极限、屈服极限、强度极限

塑性材料：延伸率大于5%的材料

脆性材料：延伸率小于3%-5%的材料

而在套上小变形与弹性变形假设的紧箍咒之后，我们会很自然地想到胡克定律

那么材料对应的一个性质很容易地被提出来了：弹性模量 E

它非常简单粗暴地把应力与应变，甚至是（内力/外力）与应变联系了起来。

E=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{F}{A\varepsilon},\quad\varepsilon=\frac{F}{EA} （这里的 EA 也被称为拉压刚度）

无论是塑性材料还是脆性材料，在线弹性阶段都会有自己对应的弹性模量，注意塑性材料受压与受拉时弹性模量相同，而脆性材料受压时的弹性模量明显大于受拉。

除了这个性质，由于大多数材料在轴向拉伸时垂直于轴向的宽度会变小，我们还引入了泊松比 \mu 的概念

设材料在轴向应变为 \varepsilon 时横向应变为 \varepsilon' ，显然一般情况下这两个量是反号的，因此我们定义

\mu=-\frac{\varepsilon'}{\varepsilon}

大多数材料的 \mu 都介于 0-0.5 之间，少数拉胀材料的泊松比小于 0 。

由前面的应力以及力学性能的分析，我们可以得到

应变 \varepsilon=\frac{F}{EA} ，转化为对应的宏观伸长量为 \Delta l=\frac{Fl}{EA}

算起来非常方便，线性性质也非常好。

因此我们可以考虑使用线性叠加原理来进一步简化问题（当然这种分析一定是在线弹性和小变形的前提下进行的）

因此对于 \Delta l=\frac{Fl}{EA} 这个式子来讲，我们可以按照外力来进行叠加，也可以按照不同的杆长来进行叠加，得到最终的变形量，这些在下面的计算题还会详细讲。

现在我们主线剧情过得差不多了，就来刷刷题找找感觉吧。

这种题目有着固定的套路：

第一步：根据静力学受力分析确定桁架上的轴力

第二步：求出每根杆上的应力，并确定需用载荷（或者校核强度）

第三步：根据胡克定律，求出每根杆的形变

第四步：采用切线代替圆弧的方法确定节点位移

下面就开始按部就班

第一步，静力学分析，显然由于 A 点处受力平衡，我们可以得到 2 为零力杆。

则 1 杆上的轴力 F_1=F

第二步， 1 杆上的应力 \sigma_1=\frac{F}{A}\leq[\sigma]

得到 [F]=A[\sigma]

第三步， 1 杆的位移 \Delta l_1=\frac{Fl}{EA} ， 2 杆位移为 0

第四步，用切线代替圆弧作出位移后的点并求出相应的大小。

\Delta y=\Delta l_1=\frac{Fl}{EA}（向下）,\quad\Delta x=\frac{Fl}{\sqrt 3EA}（向右）

第二题

那我们套用同样的步骤

第一步，静力学分析。由于 A 点处受力平衡，我们得到 AB 杆轴力 F_1=\frac{F}{\sqrt 3}=10\rm kN ， BC 杆轴力同样为 F_2=\frac{F}{\sqrt 3}=10\rm kN 。

第二步，求应力。

AB 杆应力 \sigma_1=\frac{F}{\sqrt 3A_1}=\frac{10\rm kN}{100\rm mm^2}=0.1\rm GPa

BC 杆应力 \sigma_2=\frac{F}{\sqrt 3A_2}=\frac{10\rm kN}{200\rm mm^2}=0.05\rm GPa

第三步，求变形量

AB 杆形变量 \Delta l_1=\frac{F}{\sqrt 3A_1}·\frac{l}{E}=1\rm mm

BC 杆形变量 \Delta l_2=\frac{F}{\sqrt 3A_2}·\frac{l}{E}=0.5\rm mm

第四步，求铅垂位移

由几何关系，我们可以得出 \Delta y=\Delta l_2·\cos30^\circ=0.433\rm mm（向下）

上面的这些问题都属于静定问题中分析节点的位移，而接下来就要进入下一个模块——静不定问题了。

静不定问题仅凭静力学知识无法列出与未知力数量匹配的方程，需要我们发掘出基于形变的辅助方程才能够加以解决。但是解题思路大致上是与之前差不多的。

第一步，静力学分析

分析 AC 杆受力，设 BC 段轴力为 F_1 ， AB 段轴力为 -F_2 ，我们有

F_1+F_2=F

分析 A 点受力，设 DA、EA 中的轴力均为 F_3 ，我们有

F_3=F_2

第二步，应变分析（这里直接一步到位）

DA、EA 杆的伸长量 \Delta l_3=\frac{2F_3 l}{EA}=\frac{2F_2 l}{EA}

AC 杆的伸长量 \Delta l=\Delta l_1+\Delta l_2=\frac{F_1l}{EA}-\frac{F_2l}{EA}

第三步，结合几何关系，导出额外的方程

由几何关系， \Delta l=2\Delta l_3

因此我们有 F_1=5F_2=\frac{5}{6}F（拉）,\qquad F_2=\frac{1}{6}F（压）,\qquad F_3=\frac{1}{6}F（拉）

最后做答时一定要注意方向，把拉压说清楚

接下来是最后一个题

这同样是一个静不定问题，我们话不多说，先开始静力学受力分析

第一步：静力学分析，设三杆轴力分别为 F_1,F_2,F_3

\sum F_x=0\Rightarrow F_1=F_2

\sum F_y=0\Rightarrow(F_1+F_2)·\frac{\sqrt 3}{2}+F_3=F

第二步：形变分析，

\Delta l_1=\Delta l_2=\frac{F_1 l·\frac{2}{\sqrt 3}}{EA}

\Delta l_3=\frac{F_3 l}{EA}

第三步：根据几何关系建立约束方程

\frac{\Delta l_3}{\Delta l_1}=\frac{2}{\sqrt3}

因此 F_3=\frac{4}{3}F_1

又因为 \sqrt 3F_1+F_3=F

因此 F_1=F_2=\frac{3}{(3\sqrt3+4)}F\leq[\sigma]A

F_3=\frac{4}{(3\sqrt3+4)}F\leq[\sigma]A

解得许用值为 [F]=\frac{(4+3\sqrt3)A[\sigma]}{4}

第二问要注意一个特殊的情况：这里的 \Delta 与 l 相比非常小，不足以影响角度，这也就是说前面的受力分析可以照搬。根据等强度原理，当三杆许用载荷相同时许用载荷最大。

因此我们有 F_1=F_2=F_3=A[\sigma]

接下来分析形变

(\Delta l_3+\Delta)·\frac{\sqrt3}{2}=\Delta l_1

又因为 \Delta l_3=\frac{F_3(l+\Delta)}{EA}=\frac{[\sigma](l+\Delta)}{E}

\Delta l_1=\Delta l_2=\frac{2[\sigma]l}{\sqrt 3E}

最终可以解得

\Delta=\frac{[\sigma]l}{3(E+[\sigma])} （其中分母的 [\sigma] 可以忽略）

此时 [F]_{max}=[\sigma]A·(\sqrt 3+1)

这就是关于轴向拉压杆的一些常见问题了，希望对大家的复习有所帮助。