以三角形内切圆为反演圆

1916年，Arnold Emch提出如下现象：三角形ABC的内切圆，与三边分别切于D、E、F三点。然后准备以内切圆为反演圆，进行反演变换。

直线BC的反演像是以线段ID为直径的圆P。

直线AC的反演像是以IE为直径的圆Q。

直线AB的反演像是以IF为直径的圆R。很显然，圆P、圆Q、圆R的半径相等。

圆P、圆Q、圆R两两相交，除了公共点I之外，还各自有一个交点，分别记为U、V、W。三角形UVW的外接圆记为圆J，那么，圆J和圆P、圆Q、圆R的半径相等，而且圆J恰好是△ABC外接圆的反演像。

分析一下：

考察三角形PQR发现，I和J是三角形PQR的一对等角共轭点。

点I相当于三角形PQR的外心，可以证明，三角形PQR≌UVW。因此四圆半径相等。

因为A、B、C三点的反演像分别是U、V、W三点，所以ABC的外接圆的反演像，是UVW的外接圆。

Nathan Bowler指出，上述几何事实，可以用来快速证明Euler公式： 。其中R、r、d分别代表三角形的外接圆半径、内切圆半径、圆心距。

证明：假设直线OI与三角形ABC的外接圆交于M、N，则IM=R-d，IN=R+d；

设M、N的反演像分别是X、Y，则

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