【线性代数笔记】矩阵的合同关系

定义 设 A , B A,B A,B为 n n n阶矩阵,如果 ∃ n \exists n ∃n阶可逆矩阵 C C C，使得 C T A C = B C^TAC=B CTAC=B，则称矩阵 A A A与 B B B合同，并称由 A A A到 B = C T A C B=C^TAC B=CTAC的变换为合同变换。 性质 自反性、对称性、传递性。

定理1 若 A A A与 B B B合同，则 r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B)，即 A A A与 B B B等价。

定理2（惯性定理） 将二次型化为标准型不改变其正惯性指数和负惯性指数。

定义 若一个二次型经由合同变换化为另一个二次型，则称这两个二次型是等价的二次型。

定理3 两个同阶实对称矩阵 A , B A,B A,B合同 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ A , B A,B A,B的正负特征值个数（惯性指数）对应相同。

证明： 必要性：即为定理2。 充分性： A , B A,B A,B的正负特征值个数对应相同 ⟹ \Longrightarrow ⟹ A , B A,B A,B的规范型相同。设该规范型的矩阵为 Λ \Lambda Λ，则 A , B A,B A,B分别与 Λ \Lambda Λ合同，因此 A , B A,B A,B合同。

注意：矩阵合同不要求实对称，但正定矩阵一定是实对称的。 总结：合同变换不改变惯性指数，相似变换不改变特征值（及它们在对角矩阵中的顺序）。