【数学奇观（10）】十大关于圆的定理

回想起来，这个系列都已经好久没有更新了......

这一期决定做一个关于圆的定理的专栏。我个人认为圆和三角形是数学中最美也是最基本的平面图形，几何里总有它俩的身影。那么，关于圆的定理有多少呢？（顺序随机）

相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。

即如图：PA*PB=PC*PD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即如图：若PT为切线，则PT^2=PC*PD

蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

即如图：若M为PQ中点，则MX=MY

注：（坎迪定理是蝴蝶定理的推论，即：

若M为线段PQ上任何一点，则1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP）

西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）

即如图：若PF⊥AB，PD⊥BC,PE⊥AC，则F、D、E三点共线

（注：其逆定理同样成立，即：

若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。）

鸡爪定理：I为△ABC的内心，J为∠A内的旁心，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。

托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

即如左图：AB*CD+AD*BC=AC*BD

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

即如图：若AB、AC切圆O于B、C，则AB=AC。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

即如图，直径DC⊥AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧）。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

即如图，∠ABC=∠AMB。

（注：弦切角是指顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。）

（注：公切线是同时相切于两条或两条以上的曲线的直线。和两个圆同时相切的直线叫做这两个圆的公切线。

如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫做这两个圆的外公切线；

如果两个圆在公切线的异侧，则这条直线叫做这两个圆的内公切线。）

公切线定理（1）

外公切线的长=根号下（圆心距的平方-（（大圆半径减小圆半径）的平方））

公切线定理（2）

内公切线的长=根号下（圆心距的平方-（（大圆半径加小圆半径）的平方））

公切线定理（3）

外公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距/（大圆半径减小圆半径）

公切线定理（4）

内公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距/（大圆半径加小圆半径）

【注：文中并未列举出所有定理】

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