复数

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下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二。

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 有没有解，进而可以归结为方程 有没有解。

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。

依照这种思想，为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 ，使得 是方程 的解，即使得 。

思考：把新引进的数 添加到实数集中，我们希望数 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？

依照以上设想，把实数 与 相乘，结果记作 ；把实数 与 相加，结果记作 。注意到所有实数以及 都可以写成 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

我们定义形如 ，其中 的数叫做 复数，其中 被称为 虚数单位，全体复数的集合叫做 复数集，记作 。

复数通常用 表示，即 。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 称为复数 的 实部，记作 ， 称为复数 的 虚部，记作 。如无特殊说明，都有 。

对于一个复数 ，当且仅当 时，它是实数，当 时，它是虚数，当 且 时，它是纯虚数。

纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。

我们知道了 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。

我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。

首先我们定义 复数相等：两个复数 是相等的，当且仅当 且 。

这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。

也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 表示一个复数 。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了，我们找到了复数的一种几何意义。

那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面， 轴称为 实轴， 轴称为 虚轴。我们进一步地说：复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的。

我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 ，显然，复数 对应复平面内的点 ，那么它还对应平面向量 ，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 与零向量对应）。

于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 的模 。

于是为了方便，我们常把复数 称为点 或向量 ，并规定相等的向量表示同一个复数。

并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。

对复数 ，定义加法规则如下：

很明显，两个复数的和仍为复数。

考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。

同样可以验证，复数的加法满足 交换律 和 结合律。即：

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

这同样符合向量的减法运算。

对复数 ，定义乘法规则如下：

可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把 换成 ，并将实部与虚部分别合并即可。

复数的乘法与向量的向量积形式类似。

易得复数乘法满足 交换律，结合律 和 对加法的分配律，即：

由于满足运算律，我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用。

除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：

由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系。

为了分母实数化，我们乘了一个 ，这个式子很有意义。

对复数 ，称 为 的 共轭复数，通常记为 。我们可以发现，若两个复数互为共轭复数，那么它们 关于实轴对称。

对复数 ，复数共轭有如下性质

如果设定实数单位 作为水平正方向，虚数单位 作为竖直正方向，得到的就是直角坐标视角下的复平面。

表示复数 的位置，也可以借助于极坐标 确定。前文已经提到了 为复数 的模。

从实轴正向到 非零 复数 对应向量的夹角 满足关系：

称为复数 的 辐角，记为：

任一个 非零 复数 有无穷多个辐角，故 事实上是一个集合。借助开头小写的 表示 其中一个特定值，满足条件：

称 为 辐角主值 或 主辐角。辐角就是辐角主值基础上加若干整数个（可以为零或负整数），即 。

需要注意的是两个辐角主值相加后不一定还是辐角主值，而两个辐角相加一定还是合法的辐角。

称模小于 的复数，在复平面上构成的图形为 单位圆。称模等于 的复数为 单位复数，全体单位复数在复平面上构成的图形为 单位圆周。在不引起混淆的情况下，有时单位圆周也简称单位圆。

在极坐标的视角下，复数的乘除法变得很简单。复数乘法，模相乘，辐角相加。复数除法，模相除，辐角相减。

对任意实数 ，有

在补充 复指数函数与复三角函数 的定义后，该公式可推广至全体复数。

对于复数 ，函数 满足 。由此给出 复指数函数 的定义：

复指数函数在实数集上与实指数函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质：

复三角函数（也简称 三角函数）的定义如下：

若取 ，则由 欧拉公式 有：

复三角函数在实数集上与实三角函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质：

借助直角坐标系的视角以及极坐标系的视角，可以写出复数的三种形式。

复数的 代数形式 用于表示任意复数。

代数形式用于计算复数的加减乘除四个运算比较方便。

复数的 三角形式 和 指数形式，用于表示非零复数。

这两种形式用于计算复数的乘除两个运算以及后面的运算较为方便。如果只用高中见过的函数，可以使用三角形式。如果引入了复指数函数，写成等价的指数形式会更加方便。

称 在复数意义下的解是 次复根。显然，这样的解有 个，称这 个解都是 次 单位根 或 单位复根（the -th root of unity）。根据复平面的知识， 次单位根把单位圆 等分。

设 （即幅角为 的单位复数），则 的解集表示为 。

如果不加说明，一般叙述的 次单位根，是指从 开始逆时针方向的第一个解，即上述 ，其它解均可以用 的幂表示。

单位根有三个重要的性质。对于任意正整数 和整数 ：

推导留给读者自证。这三个性质在快速傅里叶变换中会得到应用。

为什么说，上述 个解都是 次单位根，而平时说的 次单位根一般特指第一个？

特指第一个，是为了在应用时方便。

在解方程的视角看来，满足 性质的不止 一个，对于 的若干次幂也会满足性质。

称集合：

中的元素为 本原单位根。任意一个本原单位根 ，与上述 具有相同的性质：对于任意的 ， 的 次幂不为 。因此，借助任意一个本原单位根，都可以生成全体单位根。

全体 次本原单位根共有 个。

在 C99 标准中，有 <complex.h> 头文件。

在 <complex.h> 头文件中，提供了 double complex、float complex 和 long double complex 三种类型。

算术运算符'+'、'-'、'*'和'/'，可以用于浮点数和复数的任意混合。当表达式两端有一个为复数时，计算结果为复数。

头文件 <complex.h> 提供了虚数单位 I，引入此头文件时，大写字母 I 不可以作为变量名使用。

对于单个复数，<complex.h> 提供了若干操作：creal 函数用于提取实部，cimag 函数用于提取虚部，cabs 函数用于计算模，carg 函数用于计算辐角主值。

所有的函数根据类型不同，都有三个。例如 creal 函数有 creal、crealf、creall 三个，用于处理对应的 double、float 和 long double 三种类型。末尾什么都不带的默认处理 double 类型。以下所有函数均遵从此规律，不再特别说明。

这些函数返回值都是一般的浮点数。可以将普通浮点数直接赋值给复数，但是不可以将复数直接赋值给浮点数，而是需要使用上述提取操作。

函数 conj 用于计算共轭复数，返回值是复数。

函数 cexp 计算复指数，clog 计算对数主值，csin 计算正弦，ccos 计算余弦，ctan 计算正切。

函数 cpow 计算幂函数，csqrt 计算平方根，casin 计算反正弦，cacos 计算反余弦，ctan 计算反正切。这部分函数计算的全部都是多值函数的主值。

在 C 里面的 <ctype.h>，到 C++ 会变成 <cctype>，几乎所有的头文件遵从这个命名规律。

但是，<complex.h> 不遵守，C++ 没有 <ccomplex> 头文件。C++ 的复数直接是 <complex>，并且装的东西和 C 完全不一样。

很有趣。这是因为，在 C++ 的第一个版本 C++98，即已经有了 <complex>，而 C 语言在 C99 才添加。

在 C++ 中，复数类型定义使用 complex<float>、complex<double> 和 complex<long double>。由于面向对象的多态性，下面函数的名字都是唯一的，无需 f 或 l 的后缀。

一个复数对象拥有成员函数 real 和 imag，可以访问实部和虚部。

一个复数对象拥有非成员函数 real、imag、abs、arg，返回实部、虚部、模和辐角。

一个复数对象还拥有非成员函数：norm 为模的平方，conj 为共轭复数。

一个复数对象还拥有非成员函数 exp、log（底为 的对数主值）、log10（底为 10 的对数主值，C 中没有）、pow、sqrt、sin、cos、tan，含义与 C 中的含义相同。

在 C++14 及以后的版本中，定义了 字面量运算符 std::literals::complex_literals::""if, ""i, ""il。例如输入 100if、100i 和 100il，三者将分别返回 std::complex<float>{0.0f, 100.0f}、std::complex<double>{0.0, 100.0} 以及 std::complex<long double>{0.0l, 100.0l}。这使得我们可以方便地书写形如 auto z = 4 + 3i 的复数声明。

有关欧拉公式的更多介绍，可以参考两个视频：欧拉公式与初等群论、微分方程概论 - 第五章：在 3.14 分钟内理解 。 ↩