复变函数论(七)

在第一段中,我们曾经讲过关于单位圆周的对称点这一概念,现推广如下:

z 1 , z 2 z_{1}, z_{2} z1​,z2​ 关于圆周 γ : ∣ z − a ∣ = R \gamma:|z-a|=R γ:∣z−a∣=R 对称是指 z 1 , z 2 z_{1}, z_{2} z1​,z2​ 都在过圆心 a a a 的同一条射线上, 且满足

∣ z 1 − a ∣ ∣ z 2 − a ∣ = R 2 . \left|z_{1}-a\right|\left|z_{2}-a\right|=R^{2} . ∣z1​−a∣∣z2​−a∣=R2.

此外,还规定圆心 a a a 与点 ∞ \infty ∞ 也是关于 γ \gamma γ 为对称的 (如图 7.7).由定义即知, z 1 , z 2 z_{1}, z_{2} z1​,z2​ 关于圆周 γ : ∣ z − a ∣ = R \gamma:|z-a|=R γ:∣z−a∣=R 对称,必须且只需

z 2 − a = R 2 z 1 − a ‾ .  z_{2}-a=\frac{R^{2}}{\overline{z_{1}-a}} \text {. } z2​−a=z1​−a​R2​. 

下述定理从几何方面说明了对称点的特性.

扩充 z z