张量学习（4）：Kronecker delta(换标符号) and Eddington（排列符号）

由定义可知指标 i i i和 j j j是对称的，即：

例如在三维空间中：

例如： 即：如果符号 δ \delta δ的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 δ \delta δ 的另一个指标，而 δ \delta δ自动消失。 类似的有：

或者 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3)及其轮流换位得到的 ( 2 , 3 , 1 ) (2,3,1) (2,3,1) 和 ( 3 , 1 , 2 ) (3,1,2) (3,1,2)称为正序排列 ( 3 , 2 , 1 ) (3,2,1) (3,2,1)及其轮流换位得到的 ( 2 , 1 , 3 ) (2,1,3) (2,1,3) 和 ( 1 , 3 , 2 ) (1,3,2) (1,3,2)称为逆序排列

即：

它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为1，即： e i . e j = 1 ( 当 i = j 时 ) e_i.e_j = 1 (当 i = j时) ei​.ej​=1(当i=j时) 不同基矢量互相正交，即： e i . e j = 0 ( 当 i ≠ j 时 ) e_i.e_j = 0 (当 i \neq j时) ei​.ej​=0(当i​=j时) 上述两个性质可以用 δ i j \delta_{ij} δij​表示统一形式： e i . e j = δ i j e_i.e_j = \delta_{ij} ei​.ej​=δij​

正序就是 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3)从左向右够成一个环，找到最小值，以最小值为起点，从左向右看是否从小到大排列。逆序也同理可推。

个人认为 δ i j \delta_{ij} δij​和 e r s t e_{rst} erst​在指标符号的基础上建立的，依然整洁了我们的计算过程。