[二维成像与三维重建]系列(4) 小心成像有畸变

关键词：影像畸变 径向畸变 切向畸变 畸变模型 作者：李二 日期：28/03/2020 - 01/04/2020

"本系列均是写给计算机视觉和摄影测量的初学者和非主流从业人员，比如一些遥感研究生们。"

小孔成像模型的数学形式是完美的，然而真实的相机成像过程并非严格遵从小孔成像模型，这一期我们来看看真实的薄透镜成像有什么问题，在成像几何中如何考虑。话不多说，看李二道来。

理想相机成像即严格遵循小孔成像模型：无镜头，无畸变

李二再一次来到了**吃饭大学，开始了他的兼职教授的第二次课程。我当然是紧随其后，以便中午能蹭顿便饭，因为听说该大学西北餐厅的手抓羊肉一绝呀。

李二开始上课：上回说到，唐王被困淤泥河，薛仁贵前去救驾.... （致敬刘宝瑞先生）

第三排第末列的女孩突然打断：二先生，你走错了吧，这不是茶馆。

李二恍然大悟：奥奥奥，对对对，昨天晚上睡不着，听了一夜相声。好，上节课我们留了个扣子，我说真实相机成像并非完美地严格地遵从小孔成像模型，那么不妨先看看这种理想的小孔成像模型到底理想在什么地方呢。如下图所示：

所谓理想主要体现在两个方面：

大家记住理想成像的这两个特点，然后我们看看真实相机成像是什么样的。

真实相机的几何构造与理想情况有差异：有镜头，有畸变

真实相机因为制造工艺的原因，它的几何构造与理想情况有差异，涉及两个方面：

针孔模型中，一条直线投影到像平面仍是直线。而摄像机的透镜往往使得真实环境中的直线投影为曲线“curvilinear” 。越靠近图像边缘，这种线性越明显。邮寄实际加工制作的透镜往往是中心对称的，这使得不规则的畸变通常径向对称。径向畸变随着焦距的减小而增加。

李恒大神告诉我说：搞懂径向畸变这块需要几何光学的基础知识，我表示没有学过，也不懂，不过看官们似乎大致知道怎么回事就行了。

我们假设成像平面上的任意一点 ，写成极坐标的形式为 ，其中 表示点 与坐标系原点之间的距离， 表示与水平轴的夹角。因此：

（诸位看官，请仔细理解这几幅图的含义）

畸变的数学模型与畸变校正公式

李二看大家毫无反应，也不生气也不着急，慢悠悠说道：我默认大家都理解了啊（这话怎么听着这么熟悉呢，嘿嘿）。

开始敲重点了其实我们的目的不是为了了解畸变而了解畸变，而是为了了解之后对畸变进行校正，消除畸变的影响。我们上面讲解了畸变的类型与产生原理，那么如何对这些畸变进行建模呢？

研究人员们构建了很多模型，这里呢我们不对模型的推导进行讲解(李二说这话时心里有点发虚，因为他自己也不知道这些模型是如何推导而来的)。不妨直接看看一下畸变的数学模型是什么样子的。

假设无畸变时点 在图像物理坐标系中的坐标为，畸变后该点的坐标为 ，则二者的畸变数学模型为： ->径向畸变数学模型切向畸变数学模型畸变校正公式