SLAM的数学基础(4):先验概率

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假设有事件A和事件B，可以同时发生但不是完全同时发生，如以下韦恩图所示：

其中，A∩B表示A和B的并集，即A和B同时发生的概率。

如此，我们很容易得出，在事件B发生的情况下，事件A发生的概率为：

这个P(A|B)就是条件概率(Conditional Probability)。

同理，在事件A发生的情况下，事件B发生的概率为：

由以上式子可得：

再调整一下，变成：

这个就是著名的贝叶斯公式的基本形态了，其中：

P(A|B)叫做后验概率(Posterior Probability)

P(A)叫做先验概率(Prior Probability)

P(B|A)/P(B)叫做似然度(Likelihood)

那么我们可以看出，贝叶斯定理可以比较简单的归纳为：

后验概率=先验概率*似然度

在日常使用中，如贝叶斯分类、贝叶斯回归、贝叶斯滤波等算法，普遍使用迭代和归一化的方法来计算似然度，为了更好的了解归一化的方法，这里还有一个基础概念，叫全概率公式。

接着之前的说法，很明显有

OK，先举几个经典的例子来帮助理解：

一座别墅在过去的 20 年里一共发生过 2 次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫 3 次，假设在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为 0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？

我们假设：

事件A：狗在晚上叫

事件B：盗贼入侵

以天为单位统计,有：

可以看到，最终的结果基本是不可能。

这只是一个最简单的例子，其中，别墅在过去的20年中被盗2次、狗平均每周晚上叫3次这些都是先验统计，而在现实应用中往往是根据上一步的事件去推断下一步的事件，这个迭代的过程往往是很多算法实现的基础。

下面，我们举一个更复杂一些的例子：

假设有两个各装了100个球的箱子，A箱子中有70个红球，30个蓝球，B箱子中有30个红球，70个蓝球。假设随机选择其中一个箱子，从中拿出一个球记下球色再放回原箱子，如此重复12次，记录得到8次红球，4次蓝球。问题来了，你认为被选择的箱子是A箱子的概率有多大？

我们假设得到小球的结果顺序如下：红红红红红红红红蓝蓝蓝蓝，用C++实现：