高中数学必修第一册人教A版（2019）《充分条件与必要条件》教材分析

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1.4充分条件与必要条件一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：充分条件、必要条件和充要条件的意义.难点：对必要条件的意义、充要条件与数学定义之间的关系的理解.三、教科书编写意图及教学建议本节的主要内容是充分条件、必要条件、充要条件，以及它们和判定定理、性质定理、数学定义之间的关系.通过本节的学习，学生能理解这三个常用逻辑用语的意义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分又不必要条件，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系.本节主要以“若，则”形式的命题为载体，通过考察命题中条件和结论的关系，学习充分条件、必要条件和充要条件这三个常用逻辑用语.在教学中补充命题例子时，所给的命题的真假最好是显然的，或者是比较容易判断的.这是因为，学生刚开始学习逻辑用语，学习重点是对充分条件、必要条件和充要条件的意义的理解和辨析，而不是如何判断“若，则”形式的命题的真假.判断命题的真假不应该成为学生学习本节内容的障碍.1.4.1充分条件与必要条件1.概念的引入学生在初中阶段学习过命题的概念，知道命题是对某一件事情作出判断的语句，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若，则”的形式.其中，是命题的条件，是命题的结论.教学时，建议列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件和结论的认识，学会辨析.例如，命题“对顶角相等”可以写成“若两个角是对顶角，则这两个角相等”的形式，其中条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等.本节从判断“若，则”形式命题的真假性出发，通过分析真命题中和的关系，进而引出充分条件和必要条件的概念.“若，则”为真命题，即由可以推出，按教科书上定义，是的充分条件，同时，是的必要条件.学生对于是的充分条件的表述比较容易接受，但是对于是的必要条件的表述可能会难以理解.为了帮助学生理解必要条件的含义，教科书在这里加了一个边空，旨在说明：假定由可以推出，那么不成立时，一定不成立（否则成立时，一定成立，矛盾！），这就表明是成立必不可少的条件.2.充分条件与判定定理、必要条件和性质定理的关系教科书通过梳理和分析初中学过的典型数学命题，帮助学生理解充分条件与判定定理的关系，必要条件和性质定理的关系.在本小节中，第一个“思考”中的命题（1）（4）和例1中的命题（1）（2）都是初中学习过的判定定理，它们分别给出了“平行四边形是菱形”“”“四边形是平行四边形”“两个三角形相似”的一个充分条件，这样编排的目的是引导学生将充分条件与判定定理联系起来.为了明确这两者之间的联系，教科书中设置了第二个“思考”，让学生给出“四边形是平行四边形”的其他充分条件.通过这个“思考”，学生会认识到平行四边形的每个判定定理实际上都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件.教学时，教师还可以引导学生回顾“两个三角形全等”“两个三角形相似”“两直线平行”的判定定理，分析其中条件与结论的关系，进一步加深学生对充分条件与判定定理的关系的认识.对于必要条件和性质定理的关系，教科书中也做了类似的处理.例1中的命题（3）与例2中的命题（1）（2）都是初中学习过的性质定理，它们分别给出了“四边形是菱形”“四边形是平行四边形”“两个三角形相似”的一个必要条件，引导学生将必要条件和性质定理联系起来.紧接着，教科书设置了第三个“思考”，让学生尝试给出“四边形是平行四边形”的其他的必要条件，由此引出平行四边形的其他性质定理.通过这个“思考”，学生可以进一步体会必要条件和性质定理的关系.同样地，教师还可以以“两个三角形全等”“两个三角形相似”“两直线平行”的必要条件为例，加深学生对必要条件和性质定理的关系的理解.3.例题和练习的设计意图与教学分析例1是为了加深学生对充分条件的理解，并学会判断是否为的充分条件.例1选取了学生在初中学习过的两个判定定理，是为后面分析充分条件与判定定理之间的关系作准备.例2是为了加深学生对必要条件的理解，并学会判断是否为的必要条件.事实上，判断是否为的必要条件与判断是否为的充分条件本质上是一回事，都是判断“若，则”是否为真命题，即是否成立.例2选取了学生在初中学习过的两个性质定理，是为后面分析必要条件与性质定理之间的关系作准备.本小节的练习1，2是为了巩固学生对充分条件和必要条件的理解，熟练掌握判断是否为的充分条件（或是否为的必要条件）的方法.练习3是让学生尝试使用充分条件和必要条件表述数学结论.1.4.2充要条件1.充要条件概念的引入学习了充分条件和必要条件之后，教科书再介绍充要条件的概念是顺理成章的事情.教科书通过考察四个“若，则”形式的命题及其逆命题“若，则”的真假，发现有的命题和它的逆命题同时为真命题.这样一来，由第一小节学习的充分条件和必要条件的概念可知，既是的充分条件，又是的必要条件，从而引出是的充要条件的概念.教学中可以多举例子促进学生掌握：若是的充分条件，又是的必要条件，则是的充要条件，同时也是的充要条件.2.问题的转化学生学习本节内容不仅要理解充分条件与必要条件的含义，还要学会对给定的与，判断是否为的充分条件（或为的必要条件）、必要条件（或为的充分条件）、充要条件（或为的充要条件）.需要注意的是，判断是否为的必要条件，需要判断命题“若，则”是否为真命题.这里，命题“若，则”与“若，则”互为逆命题，如果其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题.将一个命题的条件与结论互换，就得到了它的逆命题.教学时，教师可以通过学生熟悉的数学例子，让学生体会和理解这两个命题之间的联系与差别，但注意不要让学生死记硬背.因此，判断是否为的充分条件、必要条件和充要条件的问题，就转化判断命题“若，则”及其逆命题“若，则”的真假的问题.教学时，教师可引导学生作如下总结：为的充分条件（或为的必要条件）：“若，则”为真命题，即；为的必要条件（或为的充分条件）：“若，则”为真命题，即；为的充要条件（或为的充要条件）：“若，则”与“若，则”均为真命题，即且，进一步地，为的充分不必要条件：“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，即且；为的必要不充分条件：“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，即且；为的既非充分又非必要条件：“若，则”与“若，则”均为假命题，即且.需要强调的是，尽管“为的充要条件”与“为的充要条件”这两个事实是等价的，但是还要注意它们之间的区别.具体来说，如果要证明结论：“为的充要条件”或“的充要条件为”，则需要证明充分性”和“必要性”这两个方面.这里，“充分性”是指由可以推出，即，“必要性”是指由可以推出，即.然而，对结论“为的充要条件”或“的充要条件是”而言，它的“充分性”是指，“必要性”是指，与前者恰好相反.3.充要条件和数学定义的关系如果学生理解了充分条件和必要条件的含义，那么充要条件的含义就不难理解了.本小节在介绍完充要条件的概念后，通过例3让学生学会判定是不是的充要条件.在例3后面，教科书安排了一个探究栏目，让学生给出“四边形是平行四边形”的一些充要条件，为后面探讨充要条件和数学定义的关系作准备.根据前面两个思考题的分析，学生不难得到“四边形是平行四边形”的四个充要条件.随后，教科书回顾平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，在这个定义中，条件“两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件，它与前面的四个充要条件可以相互推出，彼此等价.这个具体例子的目的是让学生体会到“四边形是平行四边形”的每个充要条件都从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念。据此，可以给出平行四形的其他定义形式，例如“两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形”“对角线互相平分的四边形叫做平行四边形”，等等.教学时，教师可以进一步让学生利用“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的充要条件，分别给出“三角形全等”和“相似三角形”其他形式的定义.这样，学生对充要条件与数学定义的关系就有了更深刻的认识.4.例题和练习的设计意图与教学分析例3是为了加深学生对充要条件概念的理解，学会判断是否为的充要条件的基本方法.例4是一个证明题，要证明是的充要条件.与前面例3不同的是，前者侧重在对充要条件概念的理解和判断是否为的充要条件的基本方法，完成判断的难度较小，而例4侧重在证明命题为真命题的过程，更注重数学知识本身的考查.本小节的练习1是为了加深学生对充要条件的理解，使学生能熟练掌握判断是否为的充要条件的基本方法.练习2是让学生梳理初中学习过的“两个三角形相似”“两个三角形全等”的判定定理和性质定理，加深对充分条件和判定定理，必要条件和性质定理之间关系的认识，加深对充要条件的理解.练习3是一个证明题，要证明“”是“梯形为等腰梯形”的充要条件，它与例4类似，侧重在证明命题为真命题的过程.

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