理解充分条件与必要条件

从高中的数学开始，我们便接触了充分条件与必要条件，但是当时的学习有点浅尝辄止，导致到了大学我都没有对这两个概念有一个系统的理解。最近拜读了蓝以中教授的《高等代数简明教程（上册）第二版》一书，感觉其中对充分条件与必要条件的阐述很好，于是在此记录一下，想深入学习的朋友可以看一下这本书的第17页，是关于充分条件与必要条件的详细内容。

以初中平面几何中的全等三角形的判定定理1（若两个三角形的三条对应边均相等，则这两个三角形全等）为例，首先引入充分条件与必要条件。

必要条件： 若已知两个三角形全等，则这两个三角形三条边对应相等 ，也就是说：两个三角形三边对应相等是这两个三角形全等成立的 必要条件 。其中必要条件的含义是，若两个三角形全等，则必定需要 满足一个条件：“两三角形三边对应相等”，即只有满足了这个条件，这两个三角形全等才成立。

充分条件： 若已知两三角形三边对应相等，则两三角形全等 ，也就是说：两个三角形三边对应相等是这两个三角形全等成立的 充分条件 。其中充分条件的含义是，若两三角形三边对应相等，则有 充分理由 断定“这两个三角形全等”成立。

充分必要条件 结合上述两部分论断，我们可以得到如下的命题：两三角形全等的 充要条件 是这两个三角形的三边对应相等。

必要性： 常用箭头 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 表示，即由结论推条件（假设两三角形全等成立，来证明三角形三边对应相等）。

充分性： 常用箭头 ⟸ \Longleftarrow ⟸ 表示，即由条件推出结论（假设两三角形三边对应相等成立，来证明两三角形全等）。

有了上面的例子，很容易得到 充分条件 、 必要条件 等的定义：

设 A A A、 B B B是两个命题，并且有： A A A成立的充要条件是 B B B成立，则：

必要条件： 若 A A A成立则 B B B成立，即 B B B成立是 A A A成立的必要条件。

充分条件： 若 B B B成立则 A A A成立，即 B B B成立是 A A A成立的充分条件。

必要性： 用 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 代替，即“假定 A A A成立，去证明 B B B成立”(结论推条件)。

充分性： 用 ⟸ \Longleftarrow ⟸ 代替，即“假定 B B B成立，去证明 A A A成立”(条件推结论)。

有时候我们也会用到 “当且仅当” 一词来表示 充要条件 。仍使用上面所举三角形全等的例子，就可以说：两三角形全等 当且仅当 两三角形三边对应相等。也可以一般化为： A A A成立当且仅当 B B B成立，这时：

必要条件： 仅当 B B B成立时 A A A才成立（ B B B成立是 A A A成立所必定需要的）。

充分条件： 当 B B B成立时 A A A成立（ B B B成立能充分说明 A A A成立）。

A A A成立的充要条件是 B B B成立，说明命题 A A A与 B B B是相互等价的，是同一现象（事物）的不同表现形式。 也即：若 A A A成立的充要条件是 B B B成立，则得到 A A A与 B B B互为充要条件。

实际运用中，常会出现两种十分相似的表述，但是二者仍有很大区别，即

在第一种表述中，可以认为 A A A是“结论”， B B B是“条件”；而第二种表述恰恰相反。如果在实际分析中出现了第二种表述，就不能简单地认为 ‘ ‘ A ⟹ B " ``A\Longrightarrow B" ‘‘A⟹B"是必要性了，还需要找到哪个命题是“条件”，哪个命题是“结论”，然后进行进一步的分析。