函数作图的步骤 – 四都教育

1，函数作图的步骤：（1）确定函数的定义域，以及函数的一些特性如奇偶性，周期性等等；

（2）确定函数的渐近线，主要是水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线；

（3）求一阶导数，确定函数的增减区间与极值；

（4）求二阶导数，确定函数的凹凸区间与拐点；

（5）添加一些重要的点，例如与坐标轴的交点等等；

（6）画图。

例1，作函数 \(\displaystyle y=\frac{x}{x^2-9}\) 的图形。

解：（1）函数的定义域为 \(x\ne \pm 3\)，函数是奇函数；

（2）\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2-9}=0,\quad \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2-9}=0\]

所以两边的水平渐近线都是 \(y=0\)。

\[\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -3^-}f(x)=\lim_{x\to -3^-}\frac{x}{x^2-9}=-\infty\\ \displaystyle \lim_{x\to -3^+}f(x)=\lim_{x\to -3^+}\frac{x}{x^2-9}=\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^-}\frac{x}{x^2-9}=-\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to -3^+}f(x)=\lim_{x\to -3^+}\frac{x}{x^2-9}=\infty\end{array}\]

所以 \(x=\pm 3\) 都是函数的垂直渐近线，要注意两边的符号不同。

没有斜渐近线（因为有水平渐近线）。

（3）\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-9)-x(2x)}{(x^2-9)^2}=\frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}=-\frac{x^2+9}{(x^2-9)^2}