（海伦公式）已知三角形三条边长，求面积

（海伦公式）已知三角形三条边长，求面积

海伦公式：  S=（△）=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]  其中p是三角形的周长的一半p=(a+b+c)/2.

～～～～以下转自百度百科～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

海伦公式海又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，

传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 　　假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：  　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]  　　而公式里的p为半周长：  　　p=(a+b+c)/2  　　—————————————————————————————————————————————— 　　注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 　　—————————————————————————————————————————————— 　　由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。  　　证明（1）：  　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为  　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab  　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　设p=(a+b+c)/2 　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]  　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]  　　证明（2）： 　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。  　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。  　　所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以  　　q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]  　　当P＝1时，△ 2＝q,  　　S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}  　　因式分解得  　　1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]  　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)  　　=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)  　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　由此可得：  　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]  　　其中p=1/2(a+b+c)  　　这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。 　　S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.  　　根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题： 　　已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 　　这里用海伦公式的推广 　　S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边） 　　代入解得s=8√ 3 　　海伦公式的几种另证及其推广  　　关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：  　　设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则  　　S△ABC = aha= ab×sinC = r p  　　= 2R2sinAsinBsinC =  　　=  　　其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。  　　海伦公式在解题中有十分重要的应用。  　　一、 海伦公式的变形  　　S=  　　= ①  　　= ②  　　= ③  　　= ④  　　= ⑤  　　二、 海伦公式的证明  　　证一 勾股定理  　　分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。  　　证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:  　　x = y =  　　ha = = =  　　∴ S△ABC = aha= a× =  　　此时S△ABC为变形④，故得证。  　　证二：斯氏定理  　　分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。  　　斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，  　　若BD=u，DC=v,AD=t.则  　　t 2 =  　　证明：由证一可知，u = v =  　　∴ ha 2 = t 2 = －  　　∴ S△ABC = aha = a ×  　　=  　　此时为S△ABC的变形⑤，故得证。  　　证三：余弦定理  　　分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。  　　证明：要证明S =  　　则要证S =  　　=  　　= ab×sinC  　　此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。  　　证四：恒等式  　　分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。  　　恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么  　　tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1  　　证明：如图，tg = ①  　　tg = ②  　　tg = ③  　　根据恒等式，得：  　　+ + =  　　①②③代入，得：  　　∴r2(x+y+z) = xyz ④  　　如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x  　　∴x = 同理：y = z =  　　代入 ④，得： r 2 · =  　　两边同乘以 ，得：  　　r 2 · =  　　两边开方，得： r · =  　　左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。  　　证五：半角定理  　　半角定理：tg =  　　tg =  　　tg =  　　证明：根据tg = = ∴r = × y ①  　　同理r = × z ② r = × x ③  　　①×②×③,得： r3 = ×xyz  　　∵由证一，x = = －c = p－c  　　y = = －a = p－a  　　z = = －b = p－b  　　∴ r3 = ∴ r =  　　∴S△ABC = r·p = 故得证。  　　三、 海伦公式的推广  　　由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=  　　现根据猜想进行证明。  　　证明：如图，延长DA，CB交于点E。  　　设EA = e EB = f  　　∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○  　　∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD  　　∴ = = =  　　解得： e = ① f = ②  　　由于S四边形ABCD = S△EAB  　　将①，②跟b = 代入公式变形④，得：  　　∴S四边形ABCD =  　　所以，海伦公式的推广得证。  　　四、 海伦公式的推广的应用  　　海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。  　　例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.  　　求：四边形可能为等腰梯形。  　　解：设BC = x  　　由海伦公式的推广，得：  　　(4－x)(2＋x)2 =27  　　x4－12x2－16x＋27 = 0  　　x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0  　　(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0  　　x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0  　　当x = 1时，AD = BC = 1  　　∴ 四边形可能为等腰梯形。