材料力学笔记之平面应力分析

在上下边缘处有最大的正应力，切应力为零，与拉压杆内各点的应力情况一样，处于单轴应力状态，所以强度条件与拉压杆相同

梁的最大切应力在中性轴上，正应力为零，与圆轴扭转横截面上各点的应力情况相同，处于纯剪切应力状态，可通过扭转试验测量材料的极限应力，强度条件为

其中

正应力和切应力的许用应力都是通过试验测得材料的极限应力，并除以安全因数得到。

梁横截面上除了上下边缘和中性轴，其他各点处既有正应力，又有切应力，在通常情况下，受力构件内一点处往往应力比较复杂，要进行强度计算，就不能简单的分别按正应力或切应力来建立强度条件，而是需要综合考虑正应力和切应力的影响。

这就需要通过分析一点在各个不同方位截面上应力的变化规律，确定最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位，在复杂应力状态下，显然不能简单的通过试验方法得到材料的强度条件，根据材料的失效形式，寻找引起材料失效的原因，根据一定的理论依据，通过简单试验确定失效条件，从而建立复杂应力状态的强度条件。

一、应力状态

通过受力构件内一点所有平面上的应力情况的总和，称为该点的应力状态。

为了研究构件内一点的应力，围绕该点取微小正六面体，称为单元体，如下图

单元体的尺寸无限小，设每个平面上的应力均匀分布，根据平衡条件，任意一对相互平行平面的应力大小相等，方向相反，因此单元体的应力描述只需要说明三个平面上的应力即可。每个平面上有三个应力分量，一个正应力，两个切应力，共有九个应力分量，根据切应力互等定理，则有六个独立的应力分量，三个正应力、三个切应力

若单元体的平面上切应力为零时，该平面称为主平面，对应的正应力称为主应力，当单元体三个方向的平面均为主平面时，单元体称为主单元体。

主应力按代数值大小排序

当三个主应力中只有一个不为零时，称为单向应力状态；只有一个为零，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个均不为零，称为三向应力状态（或空间应力状态）。

对构件内一点应力分析的目的，就是确定该点的主应力，及其主平面的方位。

轴向拉压杆的横截面上只有正应力，杆内各点均处于单向应力状态。

薄壁压力容器在内压作用下，筒壁各点处于二向应力状态。

火车轮与铁轨接触点，处于三向应力状态，且三个主应力均为压应力

二、二向应力状态分析

单向应力状态（如拉伸或压缩变形），已经根据试验确定材料的失效应力，并给出了杆件的强度条件，构件中的危险点往往出现在构件的表面，而构件表面上的点一般处于二向应力状态，二向应力状态分析是材料力学中的重要内容。

解析法：

所谓二向应力状态即有一个主应力为零，为了方便，设z方向平面应力为零，即

单元体如图

由于z方向平面上没有应力，一般把单元体简化为

在平面应力状态中，规定拉应力为正，切应力对单元体内任意一点取矩顺时针为正。

应力分析的目的是确定单元体的主应力和主平面的方位，主平面即切应力为零的平面。在单元体上任意取一个斜截面，计算斜截面上的应力，显然斜截面上的应力与截面的方位有关系，然后令切应力为零，就可以确定主平面方位，进一步确定主应力的大小。

任意斜截面的方位角，从x轴向平面外法线方向n转动，逆时针为正。取三角形单元abc设斜截面ab的面积为dA，应力为σ a 、τ a ，受力如上图所示，建立三角形单元体的平衡方程

可以解得任意斜截面的应力

令τ a ＝0，

即

可求得主平面的方位α 0 及α 0 +90°。 把主平面的方位代入（1）式，可求得主应力。

从（1）（2）可见，斜截面上的应力是方位角的周期函数，下面计算正应力的极值，令正应力对方位角导数等于零。

显然正应力取极值时，切应力等于零，即正应力的极值就是主应力，主应力大小

同样可以求得切应力极值

切应力极值所在平面方位

可见切应力极值所在平面与主应力所在平面的夹角为45度。

图解法：

把（1）（2）式重写

上面两式两边平方相加可得

若以正应力为横轴，以切应力为纵轴，上述方程描述的是一个圆周，称为应力圆（或莫尔圆），即在单元体上任意取一个与z轴平行的斜截面，以斜截面上的正应力为横坐标，以切应力为纵坐标，所得的点均在莫尔圆的圆周上。

应力圆的做法：

①以正应力为横坐标，切应力为纵坐标，建立坐标系；

②分别以单元体上两个不平行的平面上的正应力和切应力，分别为横坐标和纵坐标，描点A、B；

③连接A、B两点，作AB的中垂线，中垂线与横轴的交点即为圆心C，AC（或BC）为半径，作应力圆。

从上图中可见，应力圆与横轴的交点D、E对应的就是主应力，应力圆的最高点和最低点M、N切应力的极值。

若以法线方向为x轴的平面上的应力画点A（σ x ， τ xy ），以法线方向为y轴的平面上的应力画点B（σ y ， τ yx ），根据切应力互等定理，τ xy 和τ yx 大小相等，符号相反，即A、B两点的纵坐标大小相等，一个在横轴上边，一个在横轴下边，连接AB点与横轴的交点C，由几何关系可知C点的坐标为

即为应力圆的圆心。

应力圆与单元体的对应关系为：点面对应、两倍夹角、转向一致。

点面对应：应力圆上的一个点，对应单元体上一个斜截面，是一一对应关系；

两倍夹角：应力圆上两个点所夹圆弧对应的圆心角，是两个斜截面夹角的两倍；

转向一致：应力圆上从一点到另外一点的转向，与对应的两个斜截面的转向一致。

应力圆直观地描述了单元体各个平面上的应力情况，应力圆与横轴的交点对应的应力值即为主应力大小，圆心坐标加上半径为最大正应力，圆心坐标减去半径即为最小正应力（与主应力的解析表达式一致）。圆的半径即为最大切应力大小（与最大切应力的解析表达式一致）。

如果应力圆上从A点顺时针转到E点的转角为2α 0 ，对应单元体上从x轴顺时针转动角α 0 方向即为主平面方位，如上图所示。

例1：如图所示应力状态，图中的应力单位为MPa，试用解析法及图解法求：（1）主应力大小，主平面的方位；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（3）最大切应力。

解：

建立如图所示坐标系，可知

解析法

主应力

主平面方位

可解得

（当σ x ＞σ y 时，小角度α 0 对应最大的正应力；当σ x ＜σ y 时，大角度α 0 对应最大的正应力）

本题σ x ＜σ y ，α 0 ＝109.33°（或-70.67°）对应最大的正应力。

主平面方位如图所示。

最大切应力

图解法

以正应力为横坐标，切应力为纵坐标，建立坐标系（每单位长度：5MPa），点A的坐标（-20，20），点B坐标（30，-20）。

作应力圆如图所示，由CA逆时针旋转2α 0 ，D点对应最小正应力，主单元体如右图所示。

可以通过测量得到2σ 0 ＝38°，D点横坐标27（MPa），E点横坐标27（MPa）。即对应两个主应力

应力圆的半径32（MPa），最大切应力

（应力圆画的准确，测量就会比较准确。）

由图计算

所以α 0 ＝19.33°

例2 已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图，试用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求两截面间的夹角a值。

解：在坐标系系画点A（38，28），点B（114，-48），连接AB，作AB的中垂线GC，交横轴于点C，C点即为应力圆的圆心，AC(或BC)为半径画应力圆。

设CM长度为x，则有

可解得X=48， CN=114-38-48=28

主平面方位为

主单元体如图所示。

应力圆半径

则主应力

则

两截面间的夹角

来源：材料力学之教与学返回搜狐，查看更多