小学数学《平面图形的测量》大单元构建

主题：平面图形的测量

单元分析：

【核心本质剖析】

从课程标准来看，图形的测量属于图形与几何领域（图形的认识、测量、图形的运动和图形与位置）中的一个重要的内容。在小学阶段，我们在研究图形时，除了关注它的样子（特征），还会关注它的大小，一般来说一维图形的大小就是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。图形的大小都是需要通过测量来确定的。测量即“度量”，是指用一个带单位的数值来描述可测量物体或现象的某一个属性，从而形成某个具有特殊含义的“量”，如长度、面积、容积、体积等。史宁中教授在《小学数学教学中的若干问题一书中指出：要度量就必须确定度量单位，而度量就是计算所要度量的图形包含多少个度量单位。从中体现了度量的两个核心要素：确定度量单位、度量单位的个数就是量的大小。可见，长度就是几个长度单位的累加，面积就是几个面积单位的拼接，体积就是几个体积单位的堆积。“平面图形的面积”的核心就是度量活动，是单位的累加，用数去刻画量的过程。在这样的过程中，在对度量单位有很好的把握和认知的基础上，用“量”（liàng）从“长”和“宽”两个维度刻画二维平面图形，进而从“量”的角度挖掘图形中隐藏的性质，使之既有“数的特征”，又有“形的特征”。在观察、操作、测量等活动过程中，培养学生的空间观念和几何直观。

【学习内容分析】

“几何度量”是跨章节“单元”，分布在不同的年级，小学阶段包含长度、角度、面积和体积，具体内容做如下编排：

                   教材“测量”内容的结构

教材内容

教材分布

认识厘米和米

二年级上册

认分米和毫米

二年级下册

认识周长

探索长方形和正方形周长的计算方法

三年级上册

认识千米

认识面积以及常用的面积单位

探索长方形和正方形面积的计算方法

三年级下册

认识升和毫升

测量角的大小

四年级上册

探索平行四边形、三角形、梯形等多边形面积的计算方法

认识公顷和平方千米

五年级上册

探索圆周长和面积的计算方法

五年级下册

认识体积和容积以及常用的体积单位

探索长方体和正方体的表面积、体积的计算方法

六年级上册

探索圆柱的侧面积、表面积和体积的计算方法

探索圆锥体积的计算方法

六年级下册

由表格可见，“测量”的内容几乎贯穿了整个在小学阶段，其对象主要是线段、角、常见的平面图形和立体图形。从知识间的逻辑关系出发，先长度、再面积，最后是体积。从内容上看，长度单位的引入是感悟度量本质的基石，它侧重于对“单位”意义的理解：度量单位实则是比较过程中的一个“中间量、比较物”。面积单位、角度的引入是对度量理解的发展与丰富，它们的引入指向体会度量单位的适切性：面的大小用“面”度量，角的大小用“角”度量，渗透的是度量单位的正则性。体积单位则是小学阶段度量学习的收尾。正如张奠宙先生所说：“长度、面积、体积是最基本的度量几何学的内容。长度、面积和体积这三者除了图形的维度不同，作为一种度量过程其本质是一样的。”从度量本质上看，不管维度如何，都要立足三个层次：

（1）要让学生感悟到度量是“给度量对象指定一个合适的数”；

（2）要让学生感悟到度量单位的特性，这是感悟度量本质的重点：

（3）要让学生感悟到无论是长度、面积、体积还是角的度量，在本质上是一致的。

对于图形的测量内容，教材特别强调要让学生体会建立统一度量单位的重要性。以“长正方形面积”单元为例，教材设计了一系列“矛盾冲突“：直接观察法（学生的本能比较）——重叠法（直观感觉不出谁大谁小时）——测量法（观察法和重叠法无法比较出大小时，运用“画、拼、摆”等方法进行直接测量，直接测量不合适时，用公式进行间接测量），让学生经历认识度量对象——认识度量单位——直接度量——间接度量的过程，让学生在冲突中能自觉运用多种测量方法，体会统一度把握度量本质，培养学生的度量意识。

【学情分析】

从学科核心素养来看：周长、面积、体积计算是小学数学中一直以来比较“重视”的内容,但学生对图形记忆最深刻的就是公式计算,虽然他们把公式背得滚瓜烂熟,可是却时常会用混、用错。究其原因绝不仅仅是马虎,主要是以往的教学太过强化公式,而弱化了对概念的理解,忽略了对周长、面积、体积本质的追寻。.

从学生自身的学习情况来看：“几何度量”的数学课堂上，学生大脑并非空白，生活让学生有一些基本认知。如小学生比较物体大小，绝大多数都是从多少个 (数量 )、多大片(面积 )、多大块 (体积 )、多长 (长度 ) 这四个方面进行比较的。在二年级学习长度时，由于已有的知识经验储备，学生在经历从非标准单位到标准单位测量的过程后，知道一个物体的长度是可以用一一重个复测量的，能比较好的理解长度其实就是多个小线段长度不断累加的结果。但是，在学习面积后，我们发现，我们发现学生能够很流利地背出概念,却时常在解决问题时将它们混淆。整个单元知识学完之后，维度变化导致对概念混淆，这是因为教师在面积内容的教学中，往往更重视面积计算公式的获得和应用，而忽略度量本质的体现。其实，长度、面积和体积是最基本的度量几何学概念，对这三者的度量，除了图形的维度不同，作为一种测量过程，其本质是一样的。

学生可能会碰到的困难，还是以“面积的测量”为例：

1.学生容易混淆面积与周长。周长是对一维空间线的度量，面积是对二维空间面的度量。学生从学习长度到学习面积再到学习体积，每次都是空间形式认知发展上的一次次飞跃，每次飞跃都容易造成学生对图形认识和测量上的混淆。

2.问题二：学习长度的经验给学生带来负迁移。三年级的学生虽有周长的测量基础，但一维长度的测量方法在面积测量中已无法使用，要找到合适的测量面积的方法，因此，必须将周长和面积进行区分，寻找度量单位刻画图形大小，找到面积与周长的本质区别，一次真正理解面积。

3.问题三：学生会用公式计算面积，但不知公式背后的道理。这是很多学生存在的问题。 长方形面积公式简单易记，在教学中，教师往往会忽视用面积单位度量的过程，而过早的进行形式化计算，导致学生说不清楚为什么面积为长乘宽，这也是学生将长度与面积计算混淆的原因之一。

 目标设置 :

【整体目标】

1.通过直观比较面积的大小，理解面积单位的意义；通过真实任务情境问题解决，掌握面积计算方法，丰富对面积意义的认识。

2.通过对一些图形大小的描述理解单位和测量的意义，体会并认识面积单位（平方厘米，平方分米、平方米、平方千米和公顷）；能恰当地选择单位并进行换算，领会统一度量单位的必要，发展数感意识。

3.能探索发现并能用公式计算长方形和正方形的面积，能用几倍的单位量进行面积的表示，理解用边长求面积的意义。

4通过解决实际问题，感受将面积进行数量化表示的优点和通过计算求面积的便利性，并尝试灵活运用，学会估测及其简单应用。

5.推理并掌握多边形的面积公式，通过“长” 和“宽”两个维度的度量，挖掘基本图形面积计算公式的共性。

6.通过动手操作、动眼观察、动脑思考，体验不规则图形面积和实物体积的测量方法，通过测量让学生进一步加深对度量意义的理解，感悟数学思想。

【单元目标】

单元主题

知识结构

教学目标

核心素养

平面图形的面积与面积计算

面积的认识与比较（三下）

1.通过直观比较两个图形的大小，初步感受面积的概念。在尝试描述图形大小的过程中，发现、使用、体会面积单位的价值，在辨析周长与面积的过程中进一步理解面积。

2.在寻找度量面积的标准中能从定性比较大小到

定量刻画，使创新意识和创新能力获得发展。

3.通过具体问题情境探索寻找新的“单位”，思维能实现从一维到二维的跨越，空间观念有进一步的发展

空间观念、数感。

认识面积单位（三下）

1.在测量面积的活动中体会统一单位的必要性。

2.认识面积单位，借助生活实例认一认、比一比，感知面积单位的大小。

空间观念、数感。

长方形和正方形面积计算（三下）

1.用1平方厘米测量长方形面积的大小，感知面积就是面积单位的累加。

2. 在具体测量活动中，推导长、正方形面积公式。

空间观念、推理能力、数感。

平行四边形的面积（五上）

关键课例

1.  通过实际操作、尝试，感知平行四边形的面积也是面积单位的累加。

2. 引导学生建立探索新图形与已学图形之间关系的意识。

空间观念、推理能力。

三角形的面积（五上）

1.引导学生运用平行四边形面积计算的过程结构和方法结构,采用拼合、沿高或中点剪开的方法，自主探究三角形的面积计算公式。

2.在割补、拼剪的过程中进步培养学生转化的数学思考方法,学会用数学语言把转化的方法和推理的过程清晰地表达出来。

空间观念、推理能力。

梯形的面积（五上）

1.进一步运用已有方法，自主探究梯形的面积计算公式。

2.在割补、拼剪的过程中进一步体悟转 化的数学思考方法,学会用数学语言把转化方法和推理过程清晰地表达出来。

3.沟通图形之间的内在联系,构建整体认知框架。

空间观念、推理能力。

圆的面积（五下）

1.经历将曲边图形转化成直边图形的过程，掌握图形转化和图形分割的具体方法感受化曲为直和无限通近的数学思想。

2.应用圆面积的计算公式正确解决实际问题。

3.沟通直边图形和曲边图形之间的内在联系，完善平面图形的整体认知框架。

空间观念、推理能力。

课时规划：

（一）长方形和正方形的面积（三下）

（二 ）多边形的面积（五上）

（三）圆面积（五下）

学习路径：

单元学习路径：

平面图形面积的学习路径：

数学表达能力进阶提升路径：

数学的表达可以是口头语言表达，书面语言表达（文字符号语言、图形图标语言）和实物操作（图形演示、模型演示、模型制作等）

评价设计：

长方形和正方形的面积（三下）

达标与评价

评价指向

优

★★★★

良

★★★

中

★★

差

★

请用自己的方式表述下面长方形纸的大小。

表达应用

是否理解面积的概念，能否灵活解决问题

根据实际情况直接估测图形的大小，并且或灵活解决问题。

直接用公式度量，并理解长×宽的道理。

直接用公式计算，但不知道公式怎么来的。

直接测量长方形周长，周长和面积概念混淆。

用喜欢的方式表示出长方形面积和正方形面积计算公式的由来， 具体说明图形的转化过程及各部分之间的关系。

联通优化：

对长方形和正方形面积之间关系的掌握。

能清楚地呈现出计算平面面积的推导方法，   详细说明转化过程及各部分之间的关系。

比较清楚地呈现计算平面面积的推导过程，   比较清楚地说明转化过程及各部分之间的关系。

制作简单，不能看出计算面积的推导方法及各部分之间的关系。

无法说明长方形面积和正方面面积计算公式的道理。

爸爸的手机屏幕经常刮伤，如果要贴一张保护膜，要多大呢？

实际应用

是否理解面积的概念，能否灵活解决问题

根据实际情况直接估测图形的大小，并且或灵活解决问题。

直接用公式度量，并理解长×宽的道理。

直接用公式度量，并理解长×宽的道理。

直接用公式计算，但不知道公式怎么来的。

《多边形的面积》（五上）

达标与评价

评价指向

优

★★★★

良

★★★

中

★★

差

★

问题解决：

会灵活应用多边形面积计算公式来求组合图形的面积。

会求组合图形面积， 能灵活利用“割” “补”法实现方法的最优。

会用多边形面积公式来计算组合图  形 面积。

对多边形面积计算公式应用不熟练。

不会求组合图形的面积。

你知道平行四边形、三角形和梯形的面积公式吗？它们是怎么得到的，试着写一写。

联通优化：

对多边形面积计算之间关系的掌握。

能清楚地呈现出计算平面面积的推导方法， 详细说明转化过程及各部分之间的关系。

比较清楚地呈现计算平面面积的推导过程，比较清楚地说明转化过程及各部分之间的关系。

制作简单，不能看出计算面积的推导方法及各部分之间的关系。

无法说明多边形面积计算公式的道理。

对自己的作品能清楚条理地介绍给同学听。

表达应用：

对多边形之间的转化关系的陈述。

条理清晰、声音洪亮地把作品介绍清楚。

比较清楚地介绍作品。

表达不清，条理不明

【作业设计】

1. 小明不小心将一张长方形方格纸撕去一部分，你能帮他算出原来这张长方形纸的面积吗？请写出你的结题过程。

2.下面方格中给出了A.B.C三个点。

（1）请找到D点，使点D和A、B、C三个点租场平行四边形，并在图中画出来。

（2）请你借助小正方形，通过画一画、写一写等方法求出你所画出的平行四边形的面积。