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本文通过理论和MATLAB实际例子验证如下结论: 1. 大部分图片的有效信息集中在低频部分; 2. 图像傅里叶变换后低频在四周、高频在中心; 3. 图像经过傅里叶变换、频率中心化后能够容易地复原; 从而进一步说明图像通常需要进行频率中心化操作以方便处理; 1. 大部分图片的有效信息集中在低频部分 图片的高频部分主要是边缘等细节,主要内容大部分是低频部分。因此,大部分图片的有效信息集中在低频部分。从图3中我们可以看出,在去除图片中频率最低的一小部分后,图像出现了明显的锐化;而反过来,当只保留图像中频率最低的一小部分后,明显有更多的信息得到了保留。 2. 图像傅里叶变换后低频在四周、高频在中心理论解释下面这个链接很到位: 图像经过傅里叶变换以后,得到的频谱图为啥是对称的?又为啥在未频谱居中时,四周代表是低频,中间是高频? - DBinary的回答 - 知乎 总结起来就是: 二维傅里叶变换是对图像每行做一次一维傅里叶变换,再对其每列做一次一维傅里叶变换,依据从左到右频率增高的原则,最后不就变成了中间是高频,四个角是低频了么.当然为了观察方便常常用fftshift方法将低频移到中心。 Note:一维傅里叶变换本身也是高频在中间,低频在两端,经过fftshift才是低频在中间的样子,可以通过如下MATLAB代码验证: x=1:0.1:100; z=0.1*sin(2*pi*x)+1*sin(4*pi*x); Z = fft(z); plot(abs(Z));图形如下: 3. 图像经过傅里叶变换、频率中心化后能够容易地复原 傅里叶变换具有可逆性,这也是它能够得到广泛应用的原因之一。而MATLAB中的fft2与ifft2; fftshift与ifftshift则使我们可以很方便地完成这些操作。
下图表示出图形的傅里叶变换和频率中心化的结果: 下图是由中心化的频域图复原得到的空间域图,表现了傅里叶变换的可逆性
下图是将一小部分低频置零后的结果: 下图则是将除了一小部分低频,其他大部分频域分量均置零后的结果,很好地说明了这个图像的信息大量集中在低频部分。 MATLAB代码如下: image = imread('camera.png'); image=rgb2gray(image); image=im2double(image); F_image = fft2(image); figure(1) subplot(221) imshow(image); title('original image') subplot(222) imshow(abs(F_image)) title('magnitude of Frequency image') subplot(223) imshow(angle(F_image)) title('phase of Frequency image') subplot(224) imshow(fftshift(abs(F_image))) title('central') F_imageAfterCentral = fftshift(F_image); figure(2) subplot(311) originalRecoverImage = ifft2(ifftshift(F_imageAfterCentral)); imshow(originalRecoverImage) title('IFT of the original spectrogram') % 将四边取0(即将中心化后的中心点取0) subplot(312) F_imageAfterCentral_m = F_imageAfterCentral; F_imageAfterCentral_m(280:300,280:300) = 0; imshow(ifft2(ifftshift(F_imageAfterCentral_m))) title('setting the small central area(low frequency) to 0') subplot(313) F_imageAfterCentral_m1 = F_imageAfterCentral; F_imageAfterCentral_m2 = F_imageAfterCentral; F_imageAfterCentral_m1(280:300,280:300) = 0; F_difference = F_imageAfterCentral_m2 - F_imageAfterCentral_m1; imshow(ifft2(ifftshift(F_difference))) title('setting all area to 0 except the small central area(low frequency)')
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