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数字滤波器(四)
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模拟滤波器的设计
引1. 映射方法2. 冲激响应不变法2.1 变换步骤2.2 冲激响应不变法的优缺点
3. 双线性变换法3.1 变换步骤3.2 双线性变换法的优缺点
引
数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现 数字滤波器(二)–最小相位延时系统和全通系统 数字滤波器(三)–模拟滤波器的设计 1. 映射方法映射的目的就是从模拟滤波器转换到数字滤波器，这个过程就是从已知的模拟滤波器系统函数 H a ( s ) H_a(s) Ha(s)映射为数字滤波器的系统函数 H ( z ) H(z) H(z), 因此从模拟滤波器转为数字滤波器的根本就是从s平面转化为z平面。该映射需要满足两个要求： H ( z ) H(z) H(z)的频率响应要能模仿 H a ( s ) H_a(s) Ha(s)的频率响应，s平面虚轴要映射为z平面的单位圆。因果稳定的 H a ( s ) H_a(s) Ha(s)能映射为因果未稳定 H ( z ) H(z) H(z)，即s平面的左半平面 R e [ s ] < 0 Re[s] h ( n ) − > H ( z ) H_a(s)->h_a(t)->h(n)->H(z) Ha(s)−>ha(t)−>h(n)−>H(z) 这个过程也就是时域采样、频域周期延拓的过程。利用冲激响应不变法设计数字低通滤波器的步骤如下所示： 第一步 根据给定的数字低通滤波器的指标 w p w_p wp, w s t w_{st} wst, δ p \delta_p δp, δ s \delta_s δs;第二步 选择合适的T值，求解模拟指标 Ω p = w p T \Omega_p=\frac{w_p}{T} Ωp=Twp, Ω s t = w s t T \Omega_{st}=\frac{w_{st}}{T} Ωst=Twst第三步 根据指标 w p w_p wp, w s t w_{st} wst, δ p \delta_p δp, δ s \delta_s δs，设计模拟滤波器，并的系统函数 H a ( s ) H_a(s) Ha(s)第四步 将系统函数 H a ( s ) H_a(s) Ha(s)进行部分分式展开，展开成（可查表进行因式分解） H a ( s ) = ∑ k = 1 N A k s − s k H_a(s)=\sum_{k=1}^N \frac{A_k}{s-s_k} Ha(s)=k=1∑Ns−skAk第五步 依据冲激响应不变法，数字滤波器的系统函数为 H ( z ) = ∑ k = 1 N T A k 1 − e s k T z − 1 H(z)=\sum_{k=1}^N \frac{TA_k}{1-e^{s_kTz^{-1}}} H(z)=k=1∑N1−eskTz−1TAk 其中采样间隔T的取值不影响滤波器的设计，为了计算方便，一般取1居多。下面个通过两个例子来说明： 例1  例1  
2.2 冲激响应不变法的优缺点
冲激响应不变法的优点： 冲激响应不变法的时域逼近良好；模拟频率 Ω \Omega Ω与数字频率 w w w之间呈线性映射关系 w = Ω T w=\Omega T w=ΩT冲激响应不变法的缺点： 冲击响应不变法设计的滤波器会有频率响应的混叠效应冲激响应不变法仅适用于限带的模拟滤波器（比如衰减特性很好的低通或者带通滤波器），而高频衰减越快，混叠效应越小；而对于高通、带阻滤波器，不便采用此方法进行设计。 3. 双线性变换法 3.1 变换步骤双线性变换法首先采用非线性频率压缩的方法，将这个频率轴上的频率方位压缩至
[
−
π
T
,
π
T
]
[-\frac{\pi}{T},\frac{\pi}{T}]
[−Tπ,Tπ]，在通过
z
=
e
s
T
z=e^{sT}
z=esT将s平面映射到z平面，这样s平面和z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，从而消除了频谱混叠现象，如下图所示： 双线性变换法设计模拟低通滤波器的步骤为： 第一步 根据给定的数字低通滤波器的指标 w p w_p wp, w s t w_{st} wst, δ p \delta_p δp, δ s \delta_s δs;第二步 通过预畸变，确定模拟指标： Ω = 2 T t a n ( w 2 ) \Omega=\frac{2}{T}tan(\frac{w}{2}) Ω=T2tan(2w)(T的取值一般为2)第三步 根据指标 w p w_p wp, w s t w_{st} wst, δ p \delta_p δp, δ s \delta_s δs，设计模拟滤波器，并得到系统函数 H a ( s ) H_a(s) Ha(s)第四步 依据双线性变换法，数字滤波器的系统函数为 H ( z ) = H ( s ) ∣ s = 2 T 1 − z − 1 1 + z − 1 H(z)=H(s)|_{s=\frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}} H(z)=H(s)∣s=T21+z−11−z−1值得注意的是，在变换过程中，采样间隔T一般取2，会通过计算抵消，因此其取值不影响设计。 下面我们通过两个例子来感受下双线性变换法设计数字滤波器： 例1  例2  
3.2 双线性变换法的优缺点
优点： 消除了冲激响应不变法的混叠效应，可以设计各种类型的滤波器。 缺点： 存在着严重的非线性频率变换： Ω = 2 T t a n ( w 2 ) \Omega=\frac{2}{T}tan(\frac{w}{2}) Ω=T2tan(2w) 对于分段常数的滤波器，经过双线性变换后，仍然得到幅频特性为分段常数的滤波器，但各个分段边缘的临界频率点的位置会产生畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变加以校正。 预畸变指的是将临界模拟频率实现加以畸变，然后经过变换后刚好可以映射到所需要的的数字频率上；预畸变的表达式为： Ω p = 2 T t a n ( w p 2 ) \Omega_p=\frac{2}{T}tan(\frac{w_p}{2}) Ωp=T2tan(2wp) 在双线性变换法设计数字滤波器时必须进行预畸变操作。 |
双线性变换关系的表达式为：
s
=
2
T
1
−
z
−
1
1
+
z
−
1
s=\frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}
s=T21+z−11−z−1【本文地址】