位置矢量、位移

2024-06-30 21:57| 来源: 网络整理| 查看: 265

位置矢量、位移

贡献者： addis

预备知识 1　几何矢量

图 1：位矢与位移 1. 位矢

　　1位置矢量（position vector）简称位矢，是从坐标原点 $O$ 指向某一点 $P$ 的矢量，可记为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 或 $\overrightarrow{OP}$。位矢常用于表示坐标系中一点的位置。

　　有时候可将位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 作为自变量以表示一个关于位置的函数。例如一个物体内密度关于位置的分布可以表示为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。在直角坐标系中，就相当于 $\rho(x,y,z)$，在球坐标系中就相当于 $\rho(r,\theta,\phi)$。这么做的好处是书写简洁，而且不需要指定坐标系的种类。

2. 位移

　　在物体运动过程中，可以把物体的坐标（以位矢表示）看做时间的矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$，则位移 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是一段时间 $[t_1,t_2]$ 内物体初末位矢的矢量差

\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_2) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)~. \end{equation} 注意位移只与一段时间内物体的初末位置有关，与路径无关。由位移的概念可以进一步定义速度和加速度。 预备知识 2　全微分，矢量的微分，矢量内积 例 1　证明 $ \,\mathrm{d}{r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $

　　这个证明的几何意义是，位矢模长的微小变化等于位矢的微小变化在位矢方向的投影。

　　这里以平面直角坐标系中的位矢为例证明。令位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的坐标为 $(x, y)$，模长为 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，模长的全微分为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{r} = \frac{\partial r}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial r}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \,\mathrm{d}{x} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \,\mathrm{d}{y} ~. \end{equation} 考虑到 $x/\sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $y/\sqrt{x^2 + y^2}$ 分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} /r$ 的两个分量，$ \,\mathrm{d}{x} $ 和 $ \,\mathrm{d}{y} $ 分别为 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的两个分量，根据内积的定义上式变为 \begin{equation} \,\mathrm{d}{r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~. \end{equation}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

【本文地址】

公司简介

联系我们