坐标系变换矩阵推导

  假设存在点(x,y,z)，将x移动a，y移动b，z移动c，到新的点 ( x ′ , y ′ , z ′ ) (x^{'},y^{'},z^{'}) (x′,y′,z′)，则： x ′ = x + a x^{'}=x+a x′=x+a y ′ = y + b y^{'}=y+b y′=y+b z ′ = y + c z^{'}=y+c z′=y+c   写成矩阵形式： [ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ 1 0 0 a 0 1 0 b 0 0 1 c 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[\begin{matrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\\z\\1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​abc1​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

  中间4x4的矩阵叫变换矩阵。可见，如果要平移坐标，要将坐标维度增加1，变成齐次坐标（齐次坐标（homogeneous coordinates）就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，常用于投影几何）。

  在计算机图形学中，为了实现平移、旋转、缩放等图像操作，需要用到齐次坐标。

例1：世界坐标系wor相对相机坐标系cam的x、y、z分别平移了10，20，30，求次变换齐次矩阵。

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ 1 0 0 10 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] × [ 1 0 0 0 0 1 0 20 0 0 1 0 0 0 0 1 ] × [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 30 0 0 0 1 ] × [ x y z 1 ] = [ 1 0 0 10 0 1 0 20 0 0 1 30 0 0 0 1 ] × [ x y z 1 ] \left[\begin{matrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\\1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0&0&10\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&20\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right]\times \left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&30\\0&0&0&1 \end{matrix}\right]\times \left[\begin{matrix}x\\y\\z\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}1&0&0&10\\0&1&0&20\\0&0&1&30\\0&0&0&1 \end{matrix}\right]\times \left[\begin{matrix}x\\y\\z\\1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​10001​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​02001​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​00301​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​1020301​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

三个分量矩阵位置可以交换，因为是独立变量，互不影响。 所以，平移齐次矩阵为： [ 1 0 0 10 0 1 0 20 0 0 1 30 0 0 0 1 ] \left[\begin{matrix}1&0&0&10\\0&1&0&20\\0&0&1&30\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​1020301​⎦⎥⎥⎤​

旋转变换有两种，一种是向量在当前坐标系内的旋转，一种是坐标系的旋转。

  旋转变换有两种，一种是向量在当前坐标系内的旋转，一种是坐标系的旋转。这里推导坐标系旋转矩阵。

方程为： { x ′ = x , y ′ = y c o s α + z s i n α , z ′ = − y s i n α + z c o s α \begin{cases} x'=x,\\ y'=ycos{\alpha}+zsin{\alpha},\\ z'=-ysin{\alpha}+zcos{\alpha} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x′=x,y′=ycosα+zsinα,z′=−ysinα+zcosα​

写成矩阵形式： [ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ 1 0 0 0 0 c o s α s i n α 0 0 − s i n α c o s α 0 0 0 0 1 ] × [ x y z 1 ] \left[\begin{matrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&cos{\alpha}&sin{\alpha}&0\\0&-sin{\alpha}&cos{\alpha}&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix}x\\y\\z\\1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosα−sinα0​0sinαcosα0​0001​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

方程为： { x ′ ′ = x ′ c o s β + z ′ s i n β , y ′ ′ = y ′ , z ′ ′ = − x ′ s i n β + z ′ c o s β \begin{cases} x''=x'cos{\beta}+z'sin{\beta},\\ y''=y',\\ z''=-x'sin{\beta}+z'cos{\beta} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x′′=x′cosβ+z′sinβ,y′′=y′,z′′=−x′sinβ+z′cosβ​

写成矩阵形式： [ x ′ ′ y ′ ′ z ′ ′ 1 ] = [ c o s β 0 s i n β 0 0 1 0 0 − s i n α 0 c o s β 0 0 0 0 1 ] × [ x ′ y ′ z ′ 1 ] \left[\begin{matrix}x^{''}\\y^{''}\\z^{''}\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}cos{\beta}&0&sin{\beta}&0\\0&1&0&0\\-sin{\alpha}&0&cos{\beta}&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix}x'\\y'\\z'\\1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​x′′y′′z′′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosβ0−sinα0​0100​sinβ0cosβ0​0001​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​

方程为： { x ′ ′ ′ = x ′ ′ c o s γ + y ′ ′ s i n γ , y ′ ′ ′ = − x ′ ′ s i n γ + y ′ ′ c o s β , z ′ ′ ′ = z ′ ′ \begin{cases} x'''=x''cos{\gamma}+y''sin{\gamma},\\ y'''=-x''sin{\gamma}+y''cos{\beta},\\ z'''=z'' \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x′′′=x′′cosγ+y′′sinγ,y′′′=−x′′sinγ+y′′cosβ,z′′′=z′′​

写成矩阵形式： [ x ′ ′ ′ y ′ ′ ′ z ′ ′ ′ 1 ] = [ c o s γ s i n γ 0 0 − s i n γ c o s γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] × [ x ′ ′ y ′ ′ z ′ ′ 1 ] \left[\begin{matrix}x^{'''}\\y^{'''}\\z^{'''}\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}cos{\gamma}&sin{\gamma}&0&0\\-sin{\gamma}&cos{\gamma}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix}x''\\y''\\z''\\1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​x′′′y′′′z′′′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosγ−sinγ00​sinγcosγ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​x′′y′′z′′1​⎦⎥⎥⎤​

所以，坐标轴分别依次绕x，y，z轴旋转 α \alpha α, β \beta β, γ \gamma γ的变换矩阵（前后用左乘来连接）：

R = R z ( γ ) R y ( β ) R x ( α ) = [ c o s γ s i n γ 0 0 − s i n γ c o s γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] × [ c o s β 0 s i n β 0 0 1 0 0 − s i n α 0 c o s β 0 0 0 0 1 ] × [ 1 0 0 0 0 c o s α s i n α 0 0 − s i n α c o s α 0 0 0 0 1 ] × [ x y z 1 ] R=R_z(\gamma)R_y(\beta)R_x(\alpha)=\left[\begin{matrix}cos{\gamma}&sin{\gamma}&0&0\\-sin{\gamma}&cos{\gamma}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right]\times \left[\begin{matrix}cos{\beta}&0&sin{\beta}&0\\0&1&0&0\\-sin{\alpha}&0&cos{\beta}&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&cos{\alpha}&sin{\alpha}&0\\0&-sin{\alpha}&cos{\alpha}&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix}x\\y\\z\\1 \end{matrix}\right] R=Rz​(γ)Ry​(β)Rx​(α)=⎣⎢⎢⎡​cosγ−sinγ00​sinγcosγ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​cosβ0−sinα0​0100​sinβ0cosβ0​0001​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​1000​0cosα−sinα0​0sinαcosα0​0001​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​