一般正态分布的k阶（如三阶和四阶）中心矩和原点矩如何算？

如果是一维的情况，应该可以用伽马函数得到结果吧，先说说我的想法，抛砖引玉。

设随机变量 X 服从正态分布 N(\mu,\sigma^2) ，那么 X 的概率密度函数是 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}. 先求k 阶中心矩，由中心矩的定义，可知 E[(X-\mu)^k]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^kf(x)dx, 做变量代换 t=\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma} ，可得 E[(X-EX)^k]=\frac{(\sqrt{2}\sigma)^{k}}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}t^ke^{-t^2}dt. 如果k是奇数，被积函数是奇函数，结果是0，如果k是偶数，被积函数是偶函数，由伽马函数 \Gamma(s)=2\int_0^\infty t^{2s-1}e^{-t^2}dt ， 可得E[(X-EX)^k]=\frac{(\sqrt{2}\sigma)^{k}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{k+1}{2})=\frac{2^{\frac{k}{2}}\sigma^{k}}{\sqrt{\pi}}\frac{k-1}{2}\frac{k-3}{2}\cdots\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=(k-1)\cdot(k-3)\cdots1\cdot\sigma^{k}.

这样就有了 X 的k 阶中心矩的表达式，可以求出三阶中心矩为 0 ，四阶中心矩为 3\sigma^4 。

要求原点矩的话，我没想到巧妙的办法，不过可以利用二项展开来求，这是个笨办法，但可以得出结果，比如说求三阶原点矩， X^3=[(X-\mu)+\mu]^3=(X-\mu)^3+3(X-\mu)^2\mu+3(X-\mu)\mu^2+\mu^3, E(X^3)=E[(X-\mu)^3]+3\mu E[(X-\mu)^2]+3\mu^2E(X-\mu)+\mu^3, 式子里中心矩的结果已经在前面求得了，带入得到结果为 \mu^3+3\mu\sigma^2 ，类似地可以求出四阶原点矩为 \mu^4+6\mu^2\sigma^2+3\sigma^4 。

总结一下，设随机变量 X 服从正态分布 N(\mu,\sigma^2)，设其 k 阶中心矩为 A_k ，k 阶原点矩为 B_k，那么 k为奇数时A_k=0, k 为偶数时 A_k=(k-1)\cdot(k-3)\cdots1\cdot\sigma^{k} ；而 B_k=\sum_{i=0}^kC_k^i\mu^{k-i}{A_k}^i 。

这题目难度不大，所以也没什么大佬来答题，这里大二学生献丑了，如果有纰漏还请大家指正。