Gamma分布和逆Gamma分布

If n n n is a positive integer, Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n)=(n-1)! Γ(n)=(n−1)! The gamma function is defined for all complex numbers except the non-positive integers. For complex numbers with a positive real part, it is defined via a convergent improper integral: （伽马函数是为除非正整数之外的所有复数定义的。 对于具有正实部的复数，它通过收敛的不正确积分来定义：） Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x \Gamma(z)= \int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx Γ(z)=∫0∞​xz−1e−xdx

参数 α \alpha α，成为形状参数（shape parameter)，决定了分布曲线的形状，也就是 α \alpha α不同，分布曲线形状不同 参数 β \beta β成为尺度参数（scale parameter），在其他参数一定时， β \beta β不同，分布曲线的形状相似，但是高低、胖瘦不同，或者说是同一形状按照比例放大或缩小

在通常情况下，同一物理量的多次测量数据都看成服从正态分布 N ( μ , σ 2 )   \N(\mu,\sigma^2)\ N(μ,σ2)  而当正态分布总体的均值 μ \mu μ已知时，其样本方差 σ 2 \sigma^2 σ2服从逆Gamma分布 I G ( σ 2 ; α , β ) IG(\sigma^2;\alpha,\beta) IG(σ2;α,β) 其中 α \alpha α， β \beta β为待求参数。由于逆Gamma分布具有共轭性，在使用Bayes统计决策方法时，其先验和后验分布密度具有相同的分布密度函数形式 I G ( σ 2 ; α , β ) IG(\sigma^2;\alpha,\beta) IG(σ2;α,β)，因其使用方便，应用较广，尤其在测量数据的精度（方差）评估中使用的更加频繁。

若随机变量   X   G a ( α , λ ) \ X~Ga(\alpha,\lambda)  X Ga(α,λ)， 则 1 X   I G ( α , λ ) \frac{1}{X}~IG(\alpha,\lambda) X1​ IG(α,λ)

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