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伽马函数：将阶乘函数扩展到正整数之外
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，是对阶乘这种运算的实数域拓展。属于高级的数学模型，在高级概率模型用于定义分布函数。本文将介绍这个函数的基础概念和属性。 二、gamma函数定义众所周知，阶乘这个运算本来是用于简化形如 n(n−1)(n−2)…3×2×1 的乘积的，但是经过几百年的发展，这个运算拓展到了复数域的，并拥有了新的名字——Gamma函数。 Gamma函数有很多定义，其中我们今天就来尝试从它的积分定义中推出其它定义：
倘若我们对这个函数分部积分，我们可以得到Gamma函数之间的关系：
如果我们令z=1，则
结合第一个结论，对于
于是我们得到Gamma函数与阶乘的联系 Γ(n)=(n−1)! 四、证明伽玛函数是阶乘的扩展 为了做到这一点，我们需要证明方程 Γ（n） = （n - 1）！对于定义阶乘函数的所有 n 的正整数都成立。由于不可能检查每个值，我们可以利用数学归纳原理一次检查所有值。 归纳证明的第一步是建立我们希望证明的命题：
现在，我们需要证明我们的基本情况成立，即当 n = 1 时。将其代入 gamma 函数的表达式中并计算：
因此，基本情况 P（1） 为真。 归纳证明的下一步是归纳步骤，我们希望证明如果 P（k） 对某个正整数 k 成立，那么 P（k + 1） 也成立。为此，我们可以首先假设 P（k）： Γ（k） = （k - 1）！是真的。考虑到这一点，我们可以尝试求解 Γ（k +1）：
这个积分要求我们通过让u = t^k和dv = exp（-t）dt来使用部分积分。这给出了以下内容：
在倒数第二行中，我使用了我们的假设，即该命题适用于 P（k）。因此，我们刚刚证明，如果 P（k） 成立，那么 P（k + 1） 也会成立，并且由于我们的基本情况 P（1） 为真，根据数学归纳原理，任何正整数 n 的 P（n） 都必须为真。这表明，在正整数上，gamma 函数的行为确实与阶乘函数完全相同，如果我们考虑正整数以外的其他值，则可以证明它是阶乘的扩展。事实上，我们可以尝试使用 gamma 函数来尝试评估阶乘，例如 （1/2）！正如我将在下一节中介绍的那样。 五、计算（1/2）！现在，在继续之前，重要的是要清楚，我们现在使用阶乘的 gamma 函数定义来评估这一点，因为原始定义没有很好地定义非整数值，例如 1/2。考虑到这一点，我们可以将 3/2 代入 gamma 函数来计算 1/2 的阶乘：
在第三步中，我利用了我们在归纳证明中展示的 Γ（k+1） = k Γ（k） 的事实。现在，右边的积分一开始肯定不明显，但我们可以通过使用 x = t^（1/2） 的代入将其转换为更熟悉的积分，得到 t = x² 和 dt = 2 t^（1/2）dx。将这两者代入，我们得到以下结果：
最后一个积分是著名的积分的形式，称为高斯积分，可以通过将积分转换为极坐标中的双积分来解决。如果您不熟悉这一点，我在这篇文章中介绍了解决高斯积分的方法，所以我建议您检查一下。现在，由于从 -∞ 到 ∞ 的这个积分的解是π的平方根，因此从 0 到 ∞ 的积分必须是这个积分的一半，因为它是一个偶数函数。因此，我们可以得出以下结论：
由于π在解决方案中，这当然是一个有趣且意想不到的结果。但是，重要的是要认识到这不是我们通常定义的阶乘，并且这仅在我们使用了扩展的伽马函数定义时才有效。此外，虽然我只研究了这个非整数有理数的例子，但 gamma 函数也是在所有复数值上定义的，其实部大于 0。事实上，我们实际上也可以使用一种称为复分析延续的技术，将域扩展到具有非正实部的（大多数）复数。如果您对这些进一步的扩展感到好奇，我绝对建议您在线对其进行进一步研究。感谢您的阅读。 六、gamma函数的python作图 ######################## # f(x) = exp(-x) graph # ######################## import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Create x and y x = np.linspace(-2, 20, 100) y = np.exp(-x) # Create the plot fig, ax = plt.subplots() plt.plot(x, y, label='f(x) = exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen') # Make the x=0, y=0 thicker ax.set_aspect('equal') ax.grid(True, which='both') ax.axhline(y=0, color='k') ax.axvline(x=0, color='k') # Add a title plt.title('f(x) = exp(-x)', fontsize=20) # Add X and y Label plt.xlabel('x', fontsize=16) plt.ylabel('f(x)', fontsize=16) # Add a grid plt.grid(alpha=.4, linestyle='--') # Show the plot plt.show() #################### # f(x) = x^z graph # #################### import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Create x and y x = np.linspace(0, 2, 100) y1 = x**1.3 y2 = x**2.5 y3 = x**3.8 # Create the plot fig, ax = plt.subplots() plt.plot(x, y1, label='f(x) = x^1.3', linewidth=3, color='palegreen') plt.plot(x, y2, label='f(x) = x^2.5', linewidth=3, color='yellowgreen') plt.plot(x, y3, label='f(x) = x^3.8', linewidth=3, color='olivedrab') # Make the x=0, y=0 thicker ax.set_aspect('equal') ax.grid(True, which='both') ax.axhline(y=0, color='k') ax.axvline(x=0, color='k') # Add a title plt.title('f(x) = x^z', fontsize=20) # Add X and y Label plt.xlabel('x', fontsize=16) plt.ylabel('f(x)', fontsize=16) # Add a grid plt.grid(alpha=.4, linestyle='--') # Add a Legend plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='best', borderaxespad=1, fontsize=12) # Show the plot plt.show() ############################### # f(x) = x^(3.8)*e^(-x) graph # ############################### import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Create x and y x = np.linspace(0, 20, 100) y = x**3.8 * np.exp(-x) # Create the plot fig, ax = plt.subplots() plt.plot(x, y, label='f(x) = x^(3.8) * np.exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen') ax.fill_between(x, 0, y, color='yellowgreen') # Make the x=0, y=0 thicker ax.set_aspect('equal') ax.grid(True, which='both') ax.axhline(y=0, color='k') ax.axvline(x=0, color='k') # Add a title plt.title('f(x) = x^(3.8)*e^(-x) ', fontsize=20) # Add X and y Label plt.xlabel('x', fontsize=16) plt.ylabel('f(x)' ,fontsize=16) # Add a grid plt.grid(alpha=.4, linestyle='--') # Add a Legend plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='upper right', borderaxespad=1, fontsize=12) # Show the plot plt.show()结果如下：
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