几何分布及其期望计算

以抛硬币为例：抛到正面则继续抛，抛到不是正面为止，记录这时抛硬币的次数X。假设出现正面的概率为 p p p，那么非正面概率为 1 − p 1-p 1−p。发生抛k次事件的概率为： P { X = k } = p k − 1 ( 1 − p ) P\{X=k\}=p^{k-1}(1-p) P{X=k}=pk−1(1−p)

根据离散概率分布的期望公式计算 E [ X ] = ∑ ζ P { X = ζ } E[X]=\sum \zeta P\{X=\zeta\} E[X]=∑ζP{X=ζ}得到几何分布的期望为 E [ X ] = ∑ k = 1 ∞ k P { X = k } = ∑ k = 1 ∞ k p k − 1 ( 1 − p ) = 1 − p p ∑ k = 1 ∞ k p k E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} kP\{X=k\}=\sum_{k=1}^{\infty} kp^{k-1}(1-p)=\frac{1-p}{p}\sum_{k=1}^{\infty} kp^k E[X]=k=1∑∞​kP{X=k}=k=1∑∞​kpk−1(1−p)=p1−p​k=1∑∞​kpk下面来计算后面求和部分，先来计算有限次求和，再对其求极限 A = ∑ k = 1 n k p k A=\sum_{k=1}^{n} kp^k A=k=1∑n​kpk构造错位项 p A = ∑ k = 1 n k p k + 1 pA=\sum_{k=1}^{n} kp^{k+1} pA=k=1∑n​kpk+1两式相减得 ( 1 − p ) A = ∑ k = 1 n p k − n p n + 1 = p ( 1 − p n ) 1 − p − n p n + 1 (1-p)A=\sum_{k=1}^{n} p^{k}-np^{n+1}=\frac{p(1-p^n)}{1-p}-np^{n+1} (1−p)A=k=1∑n​pk−npn+1=1−pp(1−pn)​−npn+1所以得到 A = p ( 1 − p n ) ( 1 − p ) 2 − n p n + 1 1 − p A=\frac{p(1-p^n)}{(1-p)^2}-\frac{np^{n+1}}{1-p} A=(1−p)2p(1−pn)​−1−pnpn+1​对有限求和取极限 ∑ k = 1 ∞ k p k = lim ⁡ n → ∞ p ( 1 − p n ) ( 1 − p ) 2 − n p n + 1 1 − p = p ( 1 − p ) 2 \sum_{k=1}^{\infty} kp^k=\lim_{n\to \infty}\frac{p(1-p^n)}{(1-p)^2}-\frac{np^{n+1}}{1-p}=\frac{p}{(1-p)^2} k=1∑∞​kpk=n→∞lim​(1−p)2p(1−pn)​−1−pnpn+1​=(1−p)2p​计算得到几何分布的期望 E [ X ] = 1 − p p p ( 1 − p ) 2 = 1 1 − p E[X]=\frac{1-p}{p} \frac{p}{(1-p)^2}=\frac{1}{1-p} E[X]=p1−p​(1−p)2p​=1−p1​