等价关系、等价类与划分

2024-02-28 20:24| 来源: 网络整理| 查看: 265

等价关系、等价类与划分

文章目录等价关系、等价类与划分等价关系的定义等价类等价类的性质集合的划分商集等价关系与划分的一一对应

等价关系的定义

定义：设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。设R是一个等价关系，若 ∈R ，称x等价于y，记作x~y。

（即R同时满足自反性、对称性、传递性，则R为A上的等价关系）

例1：

设A={1,2...,8}，如下定义A上的关系R： R={|x,y≡∈A∧x≡y(mod3)}, 其中x≡y(mod3)叫做x与y模3相等（即x除以3的余数与y除以3的余数相等） R={ ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,} 因为∀x∈A,有x≡x(mod3) ∀x,y∈A,有x≡y(mod3),则有y≡x(mod3) ∀x,y,z∈A,有x≡y(mod3),y≡z(mod3)则有x≡z(mod3) 同时满足自反性、对称性、传递性，所以R为A上的等价关系以下为R的关系图

在这里插入图片描述

例2：

设S={a,b,c},定义S上的关系R=Is∪{,}，R是否是S上的等价关系？（注：Is中的s为I的下标）正确答案：是等价类

定义：设R为非空集合A上的等价关系, ∀x∈A，令[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简记为[x]。

例3：

求例1中等价关系的等价类。等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6} 等价类的性质

设R是非空集合A上的等价关系, 则

(1) ∀x∈A, [x] 是A的非空子集

(2) ∀x, y∈A, 如果 x R y, 则 [x]=[y]

(3) ∀x, y∈A, 如果 x 在这里插入图片描述 y, 则 [x]与[y]不交

(4) ∪{ [x] | x∈A}=A，即所有等价类的并集就是A

例4：

A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7}， [2]=[5]=[8]={2,5,8}， [3]=[6]={3,6} 以上3 类两两不交； {1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6} = {1,2, … ,8}

例5：

设S={a,b,c}，定义S上的等价关系R=Is∪{,}，则[a]=？[b]=？[c]=？ [a]={a,b} [b]={a,b} [c]={c} 集合的划分

定义设A为非空集合, 若A的子集族π(π ⊆ P(A)) 满足下面条件： (1) Ø ∉ π

(2) ∀x∀y (x,y∈π∧x≠y→x∩y= Ø)

(3) ∪π=A

称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块。

例6：

设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { Ø,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } π1,π2是A的划分，其他都不是A的划分。商集

定义：设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = { [x]R | x∈A }

例7：

A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为： A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} } A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = { {1},{2}, … ,{8}} A/EA = { {1, 2, … ,8} }

例8：

设S={a,b,c}，定义S上的等价关系R=Is∪{,}，则S/R=？正确答案：{{a,b},{c}} 等价关系与划分的一一对应

商集 A/R 就是 A 的一个划分；

例如： A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为： A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }，它就是Ａ的一个划分

不同的商集对应于不同的划分；

任给 A 的一个划分π, 如下定义 A 上的关系 R：

R = { | x,y∈A∧x 与 y 在π的同一划分块中}，则 R 为 A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集是π。

例9：

求出A＝{1,2,3}上所有的等价关系求解思路：先求出A的所有划分, 然后根据划分写出对应的等价关系。(如下图) π1对应于全域关系 EA π2对应等价关系 R2={,}∪IA π3对应等价关系 R3 ={,}∪IA π4对应等价关系 R4={,}∪IA π5 对应于恒等关系 IA (注：以上所出现的IA，A为I的下标)

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