如何区分偏微分方程中线性、半线性、拟线性和非线性？

首先看关系：

PDE\left\{ \begin{array}{l} \text{线性}\left\{ \begin{array}{l} \text{线性齐次}\\ \text{非线性齐次}\\ \end{array} \right.\\ \text{非线性}\left\{ \begin{array}{l} \text{拟线性}——\text{半线性}\\ \text{完全非线性}\\ \end{array} \right.\\ \end{array} \right. \\ 一. 首先将pde分为线性和非线性

书上给出线性的定义是这样的：

这样定义无可厚非，十分严谨，但是很不直观，下面我用线代的语言直观的语言来解释一下：

所谓线性，和线性代数里面的线性是一样的，线代里面提到的线性方程有这样的形式：

a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b\\ 或者写成 (a_1,a_2,...,a_n)(x_1,x_2,...,x_n)^T=b\\ 其中 a_1,a_2,...,a_n 和 b 是已知的常数， x_1,x_2,...,x_n 是未知数，进一步写成 \boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=b 的形式，其中 \boldsymbol{A}=\left( a_1,a_2,...,a_n \right) ， \boldsymbol{X}=\left( x_1,x_2,...,x_n \right) ^T 。

那么在这里，对函数 u=f(x_1,x_2,...,x_n) ，线性pde也可以写成\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{X}=b 的形式，只不过这里的 \boldsymbol{A} 、 \boldsymbol{X} 和 b 不是之前的意思。要注意pde里的线性是对未知函数 u 和 u 的各阶偏导数（如 u_{x_1},u_{x_{1}x_{2}},u_{x_{1}x_{1}x_{3}} 等）而言，所以这里的 \boldsymbol{X} 的每项是u 和 u 的各阶偏导数，而 \boldsymbol{A} 的每项和 b 都是关于 x_1,x_2,...,x_n 的函数（单独的常数也可以看成x_1,x_2,...,x_n 的函数），例如：

u_t-(u_{xx}+u_{yy})+1=0 ——写成 (1,-1,-1)(u_t,u_{xx},u_{yy})^T=-1

u_t-u_{xx}+xu=0 ——写成 (1,-1,x)(u_t,u_{xx},u)^T=0

u_{tt}-u_{xx}+t^2+x^2=0 ——写成 (1,-1)(u_{tt},u_{xx})^T=-t^2-x^2

u_x+e^yu_y=0 ——写成 (1,e^y)(u_x,u_y)^T=0

等等.

不是线性的pde叫做非线性pde，如：

u_t-u_{xx}+uu_x=0

u_x^2+uu_y=0

等等.

二. 将线性pde分为线性齐次和线性非齐次

在线性pde \boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{X}=b中，如果 b=0 ，那称方程 \boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{X}=0 为线性齐次pde；反之b\ne0时叫做线性非齐次pde.

三. 将非线性pde分为拟线性和完全非线性

对函数 u=f(x_1,x_2,...,x_n) ，拟线性pde也可以写成\boldsymbol{B}\cdot \boldsymbol{Y}=c的形式，只不过这里的 \boldsymbol{B} 、 \boldsymbol{Y} 和 c 不是上面的意思。这里的拟线性是对 u 的最高阶偏导数而言的，所以这里的 \boldsymbol{Y} 的每项是u的最高阶偏导数，而 \boldsymbol{B} 的每项和 c 都是除了最高阶偏导数的其他形式.例如：

(1+u_y^2)u_{xx}-2u_xu_yu_{xy}+(1+u_x^2)u_{yy}=0 ——写成 ((1+u_y^2),-2u_xu_y,(1+u_x^2))(u_{xx},u_{xy},u_{yy})^T=0

u_t+uu_x=u_{xx} ——写成 (1)(u_{xx})^T=u_t+uu_x

u_t-u_{xxt}+3uu_x=2u_xu_{xx}+uu_{xxx} ——写成 (1,u)(u_{xxt},u_{xxx})^T=u_t+3uu_x-2u_xu_{xx}

等等.

其中如果 \boldsymbol{B} 的每一项都是关于 x_1,x_2,...,x_n 的函数（单独的常数也可以看成它们的函数），那么叫做半线性pde.

不是拟线性的非线性pde叫做完全非线性pde.