8. 函数的连续性

注记. 不夸张的说, 我们在数学中遇到 (几乎) 一切连续函数都是通过两种手段构造的: 第一, 通过连续函数的复合和四则运算; 第二, 通过逼近的方式, 特别是级数的方式来定义, 比如说 exp 的构造. 这种逼近的方式是最值得我们注意的, 我们很快会发现, C(I) 这个空间和实数 R 很相似, 构造无理数就是通过有理数逼近的方式.

更具体一点, 我们会在 C(I) 上面给定一个范数 ∥⋅∥∞​ 并且证明这样得到的赋范线性空间是完备的. 此时, 任给 f∈C(I), 我们可以仿照实数的情况定义ef:=n=0∑∞​n!fk​.在完备的赋范线性空间中, 我们只要全盘照抄实数的情况就可以证明上面的 (函数) 级数收敛, 从而 ef 是良好定义的并且是连续函数. 特别地, 我们可以通过这种方式定义 ex (把 x 看成是函数 f) 而且说明这和我们最初定义的 exp(x) 是一码事.

在这种类比下, 我们就可以利用对实数的直观来研究函数空间, 从而得到很多关于函数的深刻结果. 在课程后面的学习中, 我们会遇到很具体的例子, 比方说存在处处连续但是处处都不能微分的函数, 我们就是通过构造函数的级数来实现的.