Black Scholes公式推导及求解 Part 1：BS Equation的推导

一、期权价格可以标识为关于标的资产价格S和时间t的函数

V ( S , t ; σ , μ ; E , T ; r ) V(S,t;\sigma,\mu;E,T;r) V(S,t;σ,μ;E,T;r)

其中：

S S S和 t t t是标的资产价格和时间

σ \sigma σ和 μ \mu μ是标的资产的波动率和收益率

E E E和 T T T是期权合约的行权价格和到期时间

r r r是无风险收益率

二、BS公式的6个假设：

三、推导过程

假设底层资产的价格变化可以表示为

d S = μ S d t + σ S d X dS=\mu Sdt+\sigma SdX dS=μSdt+σSdX

构建一个资产组合 Π \Pi Π，包含一份期权的多头头寸和 D e l t a Delta Delta份底层资产的空头头寸 ，资产组合的价值表示为：

Π = V ( S , t ) − Δ S \Pi=V(S,t)-\Delta S Π=V(S,t)−ΔS

则资产组合的价值变动为：

d Π = d V − Δ d S d\Pi = dV-\Delta dS dΠ=dV−ΔdS (注意dt时间内， Δ \Delta Δ不变 ) （1）

由伊藤引理（Ito 4，引入高阶Ito要归功于Merton）得到

d V = ∂ V ∂ t d t + ∂ V ∂ S d S + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 d t dV=\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}dt dV=∂t∂V​dt+∂S∂V​dS+21​σ2S2∂S2∂2V​dt ，将该式代入（1）得到

d Π = ∂ V ∂ t d t + ∂ V ∂ S d S + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 d t − Δ d S d\Pi = \frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}dt-\Delta dS dΠ=∂t∂V​dt+∂S∂V​dS+21​σ2S2∂S2∂2V​dt−ΔdS (2)

此处关于Ito 4的另外一种写法

d V = ( ∂ V ∂ t + μ S ∂ V ∂ S + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 ) d t + σ S ∂ V ∂ S d X dV=(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2})dt+\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dX dV=(∂t∂V​+μS∂S∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​)dt+σS∂S∂V​dX，将该式代入（1）得到

d Π = ( ∂ V ∂ t + μ S ∂ V ∂ S + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 ) d t + σ S ∂ V ∂ S d X − Δ ( μ S d t + σ S d X ) d\Pi=(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2})dt+\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dX-\Delta(\mu Sdt+\sigma SdX) dΠ=(∂t∂V​+μS∂S∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​)dt+σS∂S∂V​dX−Δ(μSdt+σSdX)

其中，dX项表示风险，要让风险=0，则 σ S ∂ V ∂ S − Δ σ S = 0 \sigma S\frac{\partial V}{\partial S}-\Delta\sigma S=0 σS∂S∂V​−ΔσS=0, 可得 ⇒ Δ = ∂ V ∂ S \Rightarrow \Delta=\frac{\partial V}{\partial S} ⇒Δ=∂S∂V​

（2）式中，dt项为确定项，dS项为随机项。要使得资产组合 Π \Pi Π是无风险组合，则随机项必须=0，可知：

Δ = ∂ V ∂ S \Delta=\frac{\partial V}{\partial S} Δ=∂S∂V​ (3)

则无风险组合 Π \Pi Π的变化：

d Π = ( ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 ) d t d\Pi=(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2})dt dΠ=(∂t∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​)dt (4)

在无风险条件下， d Π d\Pi dΠ就相当于持有 Π \Pi Π这么多现金的银行存款，以无风险利率 r r r在时间 d t dt dt内产生的收益。在无套利情形下，下面等式两边的价值变等应相等则：

d Π = r Π d t d\Pi = r\Pi dt dΠ=rΠdt (5)

将(1)，(4)带入(5)，可得：

( ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 ) d t = r ( V − S ∂ V ∂ S ) d t (\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2})dt=r(V-S\frac{\partial V}{\partial S})dt (∂t∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​)dt=r(V−S∂S∂V​)dt

继而得到：

∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0 ∂t∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​+rS∂S∂V​−rV=0 (6)

这就是Black-Scholes等式。