信号（互）相关及其应用

2024-07-09 18:34| 来源: 网络整理| 查看: 265

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http://blog.csdn.net/xiahouzuoxin/article/details/19286077

在信号处理中，经常要研究两个信号的相似性，或者一个信号经过一段时间延迟后自身的相似性，以便实现信号检测、识别与提取等。

可用于研究信号相似性的方法称为相关，该方法的核心概念是相关函数和互相关函数。

1 相关函数定义

无限能量信号，信号x(n)与y(n)的互相关函数定义为

$formdata=\Large+r_{xy}(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)y(n+m)$

等于将x(n)保持不动，y(n)左移m个抽样点后，两个序列逐点对应相乘的结果。

$formdata=\Large+r_{yx}(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}y(n)x(n+m)$

当x(n)与y(n)不是同一信号时，rxy中的x、y顺序是不能互换等价的。

当x(n)与y(n)为同一信号时，记

$formdata=\Large+r_{x}(m)=r_{xx}(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)x(n+m)$

为信号x(n)的自相关函数在m时刻的值。自相关函数反映了x(n)和其自身发生m个采样点平移后的相似程度。

可以想象，当m=0时，即原信号不做任何平移，一一对应的叠加时rx(m)值最大，这个结论很重要。

对于有限能量信号或周期信号，设信号为复信号，自相关函数和互相关函数可表达为

$formdata=\Large+r_{x}(m)={\frac1_N}\sum_{n=0}^{N-1}x^*(n)x(n+m)$

$formdata=\Large+r_{xy}(m)={\frac1_N}\sum_{n=0}^{N-1}x^*(n)y(n+m)$

注意：

（1）m的取值范围可以从-(N-1)到(N-1)，对于N点信号，rx共可计算得2N-1点相关函数结果值

（2）对于给定的m，因为实际信号总是有限长的N，所以要计算rx(m)，n+m=N-1，因此实际写程序时注意n的实际可取长度为N-1-m

（3）当m值越大时，对于N点有限长信号，可用于计算的信号长度越短，计算出的rx(n)性能越差，因此实际应用中常令m0; k--) { /* -(N-1)~0 PART */ kk = n-1-k; r[kk].real = 0.0; r[kk].imag = 0.0; for (j=k; j xcorr(x,y) ans = 30.0000 31.0000 37.0000 42.0000 54.0000 37.0000 24.0000 11.0000 4.0000

结果一致，只是存储顺序相反。

3 使用FFT计算相关函数

采用暴力的按定义计算信号相关的方法的计算复杂度约O(N^2)，当数据点数N很大时，尤其在DSP上跑时耗时过长，因此采用FFT和IFFT计算互相关函数显得尤为重要。

那么，互相关函数与FFT之间又是一种什么样的关系呢？

设y(n)是x(n)与h(n)的互相关函数，

即

$formdata=\Large+y(m)={\frac1_N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)h(n+m)$

则，

$formdata=\Large+Y(e^{jw})=X^*(e^{jw})H(e^{jw})$

诶，这不对啊，不是说两个信号时域的卷积才对应频域的乘积吗？难道时域的互相关和时域的卷积等价了不成？？

这里说明下，通过推倒可以得到，相关于卷积的关系满足：

$formdata=\Large+r_{xy}(m)=x(-m)\ast{y(m)}$

不管如何，与直接卷积相差一个负号。这时，看清楚了，相关函数在频域也不完全是乘积，是一个信号的共轭再与原信号乘积，这就是与“时域卷积频域相乘不同的地方”。

所以，请记住这个有用的结论，

两个信号的互相关函数的频域等于X信号频域的共轭乘以Y信号的频域。

我们就有计算互相关的新方法了：将信号x(n)和h(n)都进行FFT，将FFT的结果相乘计算得互相关函数的FFT，在进行逆变换IFFT得到互相关函数y(m)。

[cpp] view plain copy print ?

typedef complex TYPE_CORREL; /* * @brief To estimate the biased cross-correlation function * of TYPE_CORREL arrays x and y. * the result will store in x, size of x must be >=2*m * @input params x : n dimensioned TYPE_CORREL array. y : n dimensioned TYPE_CORREL array. m : the dimension of x and y. n : point numbers of correlation. icorrel: icorrel=1, cross-correlation; icorrel=0, auto-correlation * @retval None * * ==== * TEST OK 2013.01.14 */ void zx_xcorrel(TYPE_CORREL x[], TYPE_CORREL y[], int m, int n, int icorrel) { int s,k; TYPE_CORREL z; assert_param(n >= 2*m); /* n must be power of 2 */ s = n; do { s = s >> 1; k = s - 2; } while (k > 0); if (k 0); if (k

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