伯努利分布经过 本杰明·安德森博
8月 4, 2023
可能性
0 条评论 本文解释了什么是伯努利分布及其公式。此外,您还将找到伯努利分布的属性和已解决的练习,以更好地理解其含义。 什么是伯努利分布?伯努利分布,也称为二分分布,是一种概率分布,表示只能有两种结果的离散变量:“成功”或“失败”。 在伯努利分布中,“成功”是我们期望的结果,其值为 1,而“失败”的结果是与预期不同的结果,其值为 0。因此,如果“结果的概率” “成功”的结果为p ,“失败”结果的概率为q=1-p 。 ![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22361%22%20height=%2295%22%3E%3C/svg%3E)
伯努利分布以瑞士统计学家雅各布·伯努利的名字命名。 在统计学中,伯努利分布主要有一个应用:定义实验的概率,其中只有两种可能的结果:成功和失败。因此,使用伯努利分布的实验称为伯努利测试或伯努利实验。 伯努利分布公式如果p是“成功”结果发生的概率,则伯努利分布的概率等于p提高到x乘以1-p提高到1-x 。因此,伯努利分布的概率可以使用以下公式计算: ![伯努利分布公式](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22510%22%20height=%22402%22%3E%3C/svg%3E) 请注意,在伯努利分布中, x的值只能为 0(失败)或 1(成功)。 另一方面,前面的公式也可以用下面的等价表达式来写: ![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22237%22%20height=%2265%22%3E%3C/svg%3E) 伯努利分布示例现在我们知道了伯努利分布的定义及其公式是什么,让我们看一个伯努利分布的具体例子。 要赢得游戏,玩家必须掷骰子并得到 2,否则另一玩家将赢得游戏,因此游戏就会失败。计算成功和失败的概率。一个骰子有六种可能的结果(1、2、3、4、5、6),因此在本例中实验的样本空间为: ![Rendered by QuickLaTeX.com \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22146%22%20height=%2219%22%3E%3C/svg%3E)
在我们的例子中,唯一成功的情况是得到数字 2,因此应用拉普拉斯规则时成功的概率等于 1 除以可能结果的总数 (6): ![Rendered by QuickLaTeX.com p=\cfrac{1}{6}=0,1667](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22121%22%20height=%2238%22%3E%3C/svg%3E)
另一方面,如果掷骰子时出现另一个数字,则实验结果将被视为失败,因为玩家将输掉游戏。因此,该概率等于一减去先前计算的概率: ![Rendered by QuickLaTeX.com q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22247%22%20height=%2239%22%3E%3C/svg%3E)
简而言之,本实验的伯努利分布由以下表达式定义: ![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22209%22%20height=%22108%22%3E%3C/svg%3E)
如下所示,伯努利分布的概率也可以通过应用上面的公式得出: ![Rendered by QuickLaTeX.com P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22207%22%20height=%2220%22%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22284%22%20height=%2247%22%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22284%22%20height=%2247%22%3E%3C/svg%3E) 伯努利分布的特征以下是伯努利分布的最重要特征。 伯努利分布只能取值 1(成功)或 0(失败)。![Rendered by QuickLaTeX.com x=\{0\ ; 1\}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%2282%22%20height=%2219%22%3E%3C/svg%3E) 伯努利分布的平均值相当于“成功”结果发生的概率。![Rendered by QuickLaTeX.com E[X]=p](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%2273%22%20height=%2218%22%3E%3C/svg%3E) 伯努利分布的方差可以通过结果“成功”和“失败”发生的概率相乘来计算。或者,等价地,方差是p乘以1-p 。![Rendered by QuickLaTeX.com Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22214%22%20height=%2219%22%3E%3C/svg%3E) 伯努利分布众数的值取决于“成功”和“失败”的概率。因此,这种分布的模式由以下表达式定义: *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.
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另一方面,伯努利分布的累积概率函数由以下表达式定义:![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22269%22%20height=%2297%22%3E%3C/svg%3E) 伯努利分布的不对称系数通过以下表达式计算:![Rendered by QuickLaTeX.com A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%2285%22%20height=%2240%22%3E%3C/svg%3E) 同样,伯努利分布的峰度取决于参数p的值,可以通过应用以下公式找到:![Rendered by QuickLaTeX.com C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22136%22%20height=%2246%22%3E%3C/svg%3E) 伯努利分布和二项式分布在本节中,我们将看到伯努利分布和二项分布之间的区别,因为它们是两种相关的概率分布。 二项式分布计算从一组伯努利试验中获得的“成功”结果的数量。这些伯努利实验必须是独立的,但必须具有相同的成功概率。 因此,二项分布是遵循伯努利分布的一组变量的总和,所有变量均由相同的参数p定义。 ![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=%22http://www.w3.org/2000/svg%22%20width=%22140%22%20height=%2287%22%3E%3C/svg%3E)
因此,在伯努利分布中只有一个伯努利实验,而在二项分布中则有一系列伯努利实验。 关于作者 本杰明·安德森博大家好,我是本杰明,一位退休的统计学教授,后来成为 Statorials 的热心教师。 凭借在统计领域的丰富经验和专业知识,我渴望分享我的知识,通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多 添加评论取消回复
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