【概率论】5

Abstract: 本文介绍Bernoulli Distribution （伯努利分布）和Binomial Distribution（二项分布）Keywords: Bernoulli Distributions，Binomial Distributions

吐血更，一天三篇，虽然上一篇只能算一段，但是确实应该加快总结的步伐了，给后面的新内容腾出足够的时间

一杯敬自由，一杯敬死亡

在本章的开始，我们从离散分布下手，看看每个分布有这什么样的特点，然后用我们的工具分析研究其内在的性质，当然要从最简单的开始，逐步构建出我们要研究的有代表性的这些分布，第一个被处理的就是伯努利分布（bernoulli Distribution）随机变量 $X$ 只有两个取值，0或者1，并且取1的概率固定是$p$ 那么我们就说 $X$ 有一个参数为 $p$ 的伯努利分布。如果我们只知道试验输出对应的随机变量只有两个结果，非此即彼，那么这个随机变量的分布就是伯努利族中的一个随机变量。如果随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 有相同的伯努利分布，他们的和就是其中为1的随机变量的个数，这个个数也是随机的，其对应的分布为二项分布。

上来先来个例子：

临床试验，对于某种治疗，我们简单的把结果划分成两种，一种有效，一种无效，我们用随机变量来表示这两个结果，$X=1$ 表示治疗有效 $X=0$ 表示治疗无效，那么我们要做的是得到这个概率就是 $Pr(X=1)=p$ 的值就是我们关心的结果。$p$ 的取值范围在 $[0,1]$ 对应于不同的 $p$ 我们就有了伯努利分布族。

Definition Bernoulli Distribution.A random variable X has the Bernoulli distribution with parameter $p$ ( $0\leq p\leq 1$ )if X can take only the values 0 and 1 and the probabilities are$$Pr(X=1)=p$$and$$Pr(X=0)=1-p$$

其概率函数可以被写成：$$f(x|p)=\begin{cases}p^x(1-p)^{1-x}&\text{ for }x=0,1\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$p.f.的表示方法可以看出伯努利分布是依赖于参数 $p$ 的，所以 $p$ 可以看成一个条件，那么我们后面所有类似的分布都可以将其p.f.或者p.d.f.写成这种形式。c.d.f.（似乎我们学c.d.f的时候已经讲过了）可以被写成：$$F(x|p)=\begin{cases}0&\text{ for }x