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在上一篇文章中提到过数列二阶线性递推的特征根法,这篇文章来详细介绍一下。 先放出斐波那契数列的通项看看: xn=15[(1+52)2−1−52)2]x_n=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^2-\frac{1-\sqrt5}{2})^2]xn=51[(21+5)2−21−5)2]其实,高中就有这个内容,别不承认,在选修4-1中。我一个高中同学就经常和我提,但我一窍不通。好了,进入正题。 二阶线性递推求通项已知数列的前两项 x1,x2x_1,x_2x1,x2 ,且 已知其二阶线性递推公式 (就是类似斐波那契数列那样),求数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的通项。 推导怎么开始呢?我们可以使用待定系数法构造公比为 bbb 的等比数列 {xn+1−axn}\{x_{n+1}-ax_n\}{xn+1−axn} 设: xn+1−axn=b(xn−axn−1)x_{n+1}-ax_n=b(x_n-ax_{n-1})xn+1−axn=b(xn−axn−1)移项,合并同类项: xn+1=(a+b)xn−abxn−1x_{n+1}=(a+b)x_n-abx_{n-1}xn+1=(a+b)xn−abxn−1根据递推公式可得: {a+b=pab=−q\left\{\begin{aligned}&a+b=p\\&ab=-q\end{aligned}\right.{a+b=pab=−q好,下面重点来了,根据韦达定理反推解为a,b的方程: x2−px−q=0x^2-px-q=0x2−px−q=0嗯,这就是特征方程,是不是有点像解二阶线性常系数齐次微分方程用到的特征方程? 那么,这个方程接出来之后有什么用呢? 我们根据 aaa 和 bbb 的关系列出了方程,两个根因该就是 a,ba,ba,b 的值,也就是说,我们可以认为 a,ba,ba,b 是已知的常量。 好现在回到那个我们构造的等比数列,根据等比数列常用的求通项方法:累乘法,可得: xn+1−axn=bn−1(x2−ax1)(1)x_{n+1}-ax_n=b^{n-1}(x_2-ax_1)_{(1)}xn+1−axn=bn−1(x2−ax1)(1)但是,请注意,这里的 aaa 和 bbb 分别对应特征方程的两个解,可是哪个对应哪个呢? 答案是两种都有可能,咳咳,不信你们直接解关于ab的方程,肯定有两组解 总之, aaa 和 bbb 对调,还有一个方程: xn+1−bxn=an−1(x2−bx1)(2)x_{n+1}-bx_n=a^{n-1}(x_2-bx_1)_{(2)}xn+1−bxn=an−1(x2−bx1)(2)联立(1)(2)解得: xn=x2−bx1a−b⋅an−1+x2−ax1b−a⋅bn−1x_n=\frac{x_2-bx_1}{a-b}\cdot a^{n-1}+\frac{x_2-ax_1}{b-a}\cdot b^{n-1}xn=a−bx2−bx1⋅an−1+b−ax2−ax1⋅bn−1注意,这里的 x2−bx1a−b\frac{x_2-bx_1}{a-b}a−bx2−bx1 和 x2−ax1b−a\frac{x_2-ax_1}{b-a}b−ax2−ax1 是常数,因此,我们下次使用时不需要这么麻烦的硬解,而是根据这里推出的解的样子再次使用待定系数法 设通项为: α⋅an−1+β⋅bn−1\alpha\cdot a^{n-1}+\beta\cdot b^{n-1}α⋅an−1+β⋅bn−1代入 n=1,n=2n=1,n=2n=1,n=2 : {x1=α+βx2=α⋅a+β⋅b\left\{\begin{aligned}&x_1=\alpha+\beta\\&x_2=\alpha\cdot a+\beta\cdot b\end{aligned}\right.{x1=α+βx2=α⋅a+β⋅b解出 α,β\alpha,\betaα,β : {α=x2−bx1a−bβ=x2−ax1b−a\left\{\begin{aligned}&\alpha=\frac{x_2-bx_1}{a-b}\\&\beta=\frac{x_2-ax_1}{b-a}\end{aligned}\right.⎩⎨⎧α=a−bx2−bx1β=b−ax2−ax1 总结已知数列的前两项 x1,x2x_1,x_2x1,x2 和递推公式 xn+1=pxn+qxn−1x_{n+1}=px_n+qx_{n-1}xn+1=pxn+qxn−1 ,求数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的通项。 解特征方程 x2−px−q=0x^2-px-q=0x2−px−q=0得出 aaa 和 bbb 设通项为 xn=α⋅an−1+β⋅bn−1x_n=\alpha\cdot a^{n-1}+\beta\cdot b^{n-1}xn=α⋅an−1+β⋅bn−1 并代入 n=1,n=2n=1,n=2n=1,n=2 解出 α,β\alpha,\betaα,β : {x1=α+βx2=α⋅a+β⋅b\left\{\begin{aligned}&x_1=\alpha+\beta\\&x_2=\alpha\cdot a+\beta\cdot b\end{aligned}\right.{x1=α+βx2=α⋅a+β⋅b {α=x2−bx1a−bβ=x2−ax1b−a\left\{\begin{aligned}&\alpha=\frac{x_2-bx_1}{a-b}\\&\beta=\frac{x_2-ax_1}{b-a}\end{aligned}\right.⎩⎨⎧α=a−bx2−bx1β=b−ax2−ax1写出通项。 例子:斐波那契数列已知数列的前两项 x1=1,x2=1x_1=1,x_2=1x1=1,x2=1 和递推公式 xn+1=xn+xn−1x_{n+1}=x_n+x_{n-1}xn+1=xn+xn−1 ,求数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的通项。 解特征方程: r2−r−1=0r^2-r-1=0r2−r−1=0 r1=1+52,r1=1−52r_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},r_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}r1=21+5,r1=21−5设通项为: xn=α⋅(1+52)n−1+β⋅(1+52)n−1x_n=\alpha\cdot(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+\beta\cdot(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}xn=α⋅(21+5)n−1+β⋅(21+5)n−1代入 x1=1,x2=1x_1=1,x_2=1x1=1,x2=1 : {α+β=11+52⋅α+1−52⋅β=1\left\{\begin{array}{} \alpha+\beta=1\\ \frac{1+\sqrt5}{2}\cdot\alpha+\frac{1-\sqrt5}{2}\cdot\beta=1 \end{array}\right.{α+β=121+5⋅α+21−5⋅β=1解得: {α=5+510β=5−510\left\{\begin{array}{} \alpha=\frac{\sqrt5+5}{10}\\ \beta=\frac{\sqrt5-5}{10} \end{array}\right.{α=105+5β=105−5因此: xn=15[(1+52)2−1−52)2]x_n=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^2-\frac{1-\sqrt5}{2})^2]xn=51[(21+5)2−21−5)2]这个公式非常神奇,虽然看起来令人头皮发麻,但算出来居然每一项都是整数! from math import *def f(n): return (((1+sqrt(5))/2)**n-((1-sqrt(5))/2)**n)/sqrt(5)for i in range(1, 15): print(f(i)) |
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