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张宇1000题概率论与数理统计 第二、三章 一维随机变量及其分布及一维随机变量函数的分布
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第二章 一维随机变量及其分布
A
A
A组10.若随机变量
X
X
X存在正概率点，即存在一点
a
a
a，使得
P
{
X
=
a
}
>
0
P\{X=a\}>0
P{X=a}>0，则
X
X
X为（ ）。
(
A
)
(A)
(A)连续型随机变量；
(
B
)
(B)
(B)离散型随机变量；
(
C
)
(C)
(C)非连续型随机变量；
(
D
)
(D)
(D)非离散型随机变量。
B
B
B组4.设随机变量
X
X
X服从正态分布
N
(
0
,
1
)
N(0,1)
N(0,1)，对给定的
α
(
0
<
α
<
1
)
\alpha(0∣X∣X=a}>0，则
X
X
X为（ ）。
(
A
)
(A)
(A)连续型随机变量；
(
B
)
(B)
(B)离散型随机变量；
(
C
)
(C)
(C)非连续型随机变量；
(
D
)
(D)
(D)非离散型随机变量。
解 不同的随机变量类型有不同的特点：连续型随机变量只在区间上取值，在任何定点的概率为零，且分布函数在实轴上连续；离散型随机变量，其定义域为若干离散点（正概率点），分布函数为阶梯形函数，在间断处右连续；还有一类，既不是连续型也不是离散型随机变量，简称为一般类型随机变量，其概率既在区间上取正值，也在定点上取正值，且分布函数有间断点。 依本题题设，随机变量 X X X存在正概率点，可以否定为连续型随机变量，但不能进一步确定是离散型还是一般类型随机变量，只能判定为非连续型随机变量，故选 ( C ) (C) (C)。（这道题主要利用了随机变量类型定义求解） B B B组 4.设随机变量 X X X服从正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)，对给定的 α ( 0 < α < 1 ) \alpha(0∣X∣X>x}=21−α，因此，可得 x = u 1 − α 2 x=u_{\frac{1-\alpha}{2}} x=u21−α，故选 ( C ) (C) (C)。
（这道题主要利用了函数图像求解） 12.通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布。已知在 1 1 1分钟内没有汽车通过的概率为 0.2 0.2 0.2，则 1 1 1分钟内有超过 1 1 1辆汽车通过的概率是______。解 若 X ∼ P ( λ ) X\sim P(\lambda) X∼P(λ)，则其分布律为 P { X = k } = λ k k ! e − λ ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) P\{X=k\}=\cfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k=0,1,2,\cdots) P{X=k}=k!λke−λ(k=0,1,2,⋯)，从结构观察，泊松分布最重要的是确定泊松分布的参数 λ \lambda λ。题中已明确在 X ∼ P ( λ ) X\sim P(\lambda) X∼P(λ)的情况下，由已知， P { X = 0 } = λ 0 0 ! e − λ = e − λ = 0.2 P\{X=0\}=\cfrac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}=0.2 P{X=0}=0!λ0e−λ=e−λ=0.2，可得 λ = − ln 0.2 \lambda=-\ln0.2 λ=−ln0.2，于是 P { X > 1 } = 1 − P { X = 0 } − P { X = 1 } = 1 − 0.2 − λ 1 1 ! e − λ = 0.478 P\{X>1\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}=1-0.2-\cfrac{\lambda^1}{1!}e^{-\lambda}=0.478 P{X>1}=1−P{X=0}−P{X=1}=1−0.2−1!λ1e−λ=0.478。（这道题主要利用了泊松分布求解） 第三章 一维随机变量函数的分布 B B B组 3. X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， F ( x ) F(x) F(x)为其分布函数，则随机变量 Y = F ( X ) Y=F(X) Y=F(X)的分布函数（ ）。 ( A ) (A) (A)处处可导； ( B ) (B) (B)恰有 1 1 1个不可导点； ( C ) (C) (C)恰有 2 2 2个不可导点； ( D ) (D) (D)恰有 3 3 3个不可导点。解 因为 F Y ( y ) = P { Y ⩽ y } = P { F ( X ) ⩽ y } F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{F(X)\leqslant y\} FY(y)=P{Y⩽y}=P{F(X)⩽y}，于是：当 y < 0 yX为偶数 } \} }。 解 令随机变量 Y = g ( X ) = 1 2 [ 1 + ( − 1 ) X ] Y=g(X)=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^X] Y=g(X)=21[1+(−1)X]。当 X = 2 k + 1 X=2k+1 X=2k+1（奇数）时， Y = 1 2 [ 1 + ( − 1 ) 2 k + 1 ] = 0 Y=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^{2k+1}]=0 Y=21[1+(−1)2k+1]=0；当 X = 2 k X=2k X=2k（偶数）时， Y = 1 2 [ 1 + ( − 1 ) 2 k ] = 1 Y=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^{2k}]=1 Y=21[1+(−1)2k]=1；则 P { X 为 偶 数 } = P { Y = 1 } = E ( Y ) = E [ g ( X ) ] = E { 1 2 [ 1 + ( − 1 ) X ] } = 1 2 { 1 + E [ ( − 1 ) X ] } = 1 2 [ 1 + ∑ k = 0 n ( − 1 ) k C n k p k ( 1 − p ) n − k ] = 1 2 [ 1 + ∑ k = 0 n C n k ( − p ) k ( 1 − p ) n − k ] = 1 2 [ 1 + ( 1 − 2 p ) n ] . \begin{aligned} P\{X为偶数\}&=P\{Y=1\}=E(Y)=E[g(X)]=E\left\{\cfrac{1}{2}[1+(-1)^X]\right\}\\ &=\cfrac{1}{2}\{1+E[(-1)^X]\}=\cfrac{1}{2}\left[1+\displaystyle\sum^n_{k=0}(-1)^k\mathrm{C}^k_np^k(1-p)^{n-k}\right]\\ &=\cfrac{1}{2}\left[1+\displaystyle\sum^n_{k=0}\mathrm{C}^k_n(-p)^k(1-p)^{n-k}\right]=\cfrac{1}{2}[1+(1-2p)^n]. \end{aligned} P{X为偶数}=P{Y=1}=E(Y)=E[g(X)]=E{21[1+(−1)X]}=21{1+E[(−1)X]}=21[1+k=0∑n(−1)kCnkpk(1−p)n−k]=21[1+k=0∑nCnk(−p)k(1−p)n−k]=21[1+(1−2p)n]. （这道题主要利用了二次项展开式求解） 写在最后如果觉得文章不错就点个赞吧。另外，如果有不同的观点，欢迎留言或私信。 欢迎非商业转载，转载请注明出处。 |
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